Rohre und Winkel

Wissenschaft Physik
1

Hallo allen Mathematikern,
Wenn ich ein Rohrflansch mit einem Winkel von 22.5 Grad einem identischem Rohrflansch aufsetze, ergibt das ja ein Totalwinkel von 45 Grad. Wenn ich nun ein Flansch um die Laengsachse um zehn Grad drehe, wie kann ich da mathematisch ausrechnen, welchen Winkel das ergibt? Versuche auf dem PC mit AutoCAD ergaben folgende Werte:
0 Grad =45 Grad Winkel
10 =44.8
20 =44.3
30 =43.4
40 =42.2
50 =40.6
60 =38.7
70 =36.5
80 =34.1
90 =31.4
100 =28.5
110 =25.4
120 =22.1
130 =18.6
140 =15
150 =11.4
160 =7.6
170 =3.8

Wenn man sich nun die Schrittgroesse zwischen den Versuchen anschaut, dann sieht man unregelmaessige Schritte. Ist da was falsch gelaufen (ungenauigkeiten), oder ist das so richtig?
Wer kann mir da sagen mit welcher Formel ich das nachrechnen kann.

Wenn ich mich unklar ausgedrueckt habe, beruecksichtigt es bitte, da deutsch nicht mehr meine erstsprache ist und fragt lieber nochmal nach
Liebe Gruesse aus Australien
Ingo
Vielen Dank im voraus fuer eure Tipps

2

Hi…

Wenn ich ein Rohrflansch mit einem Winkel von 22.5 Grad einem
identischem Rohrflansch aufsetze, ergibt das ja ein
Totalwinkel von 45 Grad. Wenn ich nun ein Flansch um die
Laengsachse um zehn Grad drehe, wie kann ich da mathematisch
ausrechnen, welchen Winkel das ergibt? Versuche auf dem PC
mit AutoCAD ergaben folgende Werte:

Wenn man sich nun die Schrittgroesse zwischen den Versuchen
anschaut, dann sieht man unregelmaessige Schritte. Ist da was
falsch gelaufen (ungenauigkeiten), oder ist das so richtig?

Das ist in Ordnung. Schwerwiegender ist, daß die Schnittflächen der Rohrstücke nur in zwei Stellungen (0° und 180°) exakt aufeinander passen.

Wer kann mir da sagen mit welcher Formel ich das nachrechnen
kann.

Auf den ersten Blick würde ich sagen: Die Formel wird hässlich sein und mehrere Winkelfunktionen enthalten. Ich muß jetzt zur Arbeit, heute Abend kann ich sie vielleicht entwickeln.

Wenn ich mich unklar ausgedrueckt habe, beruecksichtigt es
bitte, da deutsch nicht mehr meine erstsprache ist und fragt
lieber nochmal nach

Kein Problem, alles gut verständlich.

Liebe Gruesse aus Australien

No worries, mate :wink:

genumi

3

Wenn ich ein Rohrflansch mit einem Winkel von 22.5 Grad einem
identischem Rohrflansch aufsetze, ergibt das ja ein
Totalwinkel von 45 Grad.

So wie ich das verstanden habe, sind die beiden Flansche so verbunden, dass sie eine gemeinsame Seite (Längsachse) und „Spitze“ haben.
Das würde sich auch mit den AutoCad-Ergebnissen decken.

Den Winkel zwischen zwei Vektoren (hier Flanschseiten), kann man über das Skalarprodukt berechnen:
a*b = |a||b]cos(W(a,b)), wobei W(a,b) der von a und b eingeschlossene Winkel ist.

Der einfachheit halber wählen wir die x-Achse als Längsachse.
Und die Flansche als Einheitsvektoren:

v1 = (cos(22,5°), 0, sin(22,5°))
vx = (1, 0, 0)
v2 = (cos(22,5°), 0, -sin(22,5°))

Rotation von v2 um die x-Achse (Winkel φ):

Rx(φ)*v2 := v3 = (cos(22,5°), sin(22,5°)*sin(φ), -sin(22,5°)*cos(φ) )

v1*v3 = cos²(22,5°)-sin²(22,5°)*cos(φ)
|v1|=|v3|=1

Es folgt:

V1*v3 = |v1||v3|*cos(W(v1,v2)) = cos²(22,5°)-sin²(22,5°)*cos(φ)

W(v1,v3) = arccos(cos²(22,5°)-sin²(22,5°)*cos(φ))

Mit cos²(22,5) = ¼(√(2)+2) und sin(22,5°)=¼(2-√(2))

etwa:

W(v1,v3) ≈ arccos(0,85355-0,14645*cos(φ))

Gruß Frank

4

Wenn ich ein Rohrflansch mit einem Winkel von 22.5 Grad einem
identischem Rohrflansch aufsetze, ergibt das ja ein
Totalwinkel von 45 Grad.

Hi…

So wie ich das verstanden habe, sind die beiden Flansche so
verbunden, dass sie eine gemeinsame Seite (Längsachse) und
„Spitze“ haben.
Das würde sich auch mit den AutoCad-Ergebnissen decken.

Richtig!

Den Winkel zwischen zwei Vektoren (hier Flanschseiten), kann
man über das Skalarprodukt berechnen:
a*b = |a||b]cos(W(a,b)), wobei W(a,b) der von a und b
eingeschlossene Winkel ist.

Der einfachheit halber wählen wir die x-Achse als Längsachse.
Und die Flansche als Einheitsvektoren:

v1 = (cos(22,5°), 0, sin(22,5°))
vx = (1, 0, 0)
v2 = (cos(22,5°), 0, -sin(22,5°))

Rotation von v2 um die x-Achse (Winkel φ):

Rx(φ)*v2 := v3 = (cos(22,5°), sin(22,5°)*sin(φ),
-sin(22,5°)*cos(φ) )

v1*v3 = cos²(22,5°)-sin²(22,5°)*cos(φ)
|v1|=|v3|=1

Es folgt:

V1*v3 = |v1||v3|*cos(W(v1,v2)) =
cos²(22,5°)-sin²(22,5°)*cos(φ)

W(v1,v3) = arccos(cos²(22,5°)-sin²(22,5°)*cos(φ))

Mit cos²(22,5) = ¼(√(2)+2) und
sin(22,5°)=¼(2-√(2))

etwa:

W(v1,v3) ≈ arccos(0,85355-0,14645*cos(φ))

Gruß Frank

Vielen Dank Frank, fuer Deine Muehe,komme dadurch aber immer noch nicht auf die Loesung. Hab keinen Schimmer wie ich deiner Erklaerung folgen kann (bin halt nur Otto-normal-mathematiker (1+1= 1,9 bis 2,1).
Kannst du mir das Anhand eines Beispiels erklaeren
Vielen Dank nochmal
Gruss Ingo

5

Hi…

Wenn ich ein Rohrflansch mit einem Winkel von 22.5 Grad einem
identischem Rohrflansch aufsetze, ergibt das ja ein
Totalwinkel von 45 Grad. Wenn ich nun ein Flansch um die
Laengsachse um zehn Grad drehe, wie kann ich da mathematisch
ausrechnen, welchen Winkel das ergibt? Versuche auf dem PC
mit AutoCAD ergaben folgende Werte:

Wenn man sich nun die Schrittgroesse zwischen den Versuchen
anschaut, dann sieht man unregelmaessige Schritte. Ist da was
falsch gelaufen (ungenauigkeiten), oder ist das so richtig?

Das ist in Ordnung. Schwerwiegender ist, daß die
Schnittflächen der Rohrstücke nur in zwei Stellungen (0° und
180°) exakt aufeinander passen.

Wie meinst du das? wenn ich die Schnittflaechen aufeinander lege ist eine Aussenseite eben nicht mehr 45 Grad und genau das wollte ich ja berechnen

Wer kann mir da sagen mit welcher Formel ich das nachrechnen
kann.

Auf den ersten Blick würde ich sagen: Die Formel wird hässlich
sein und mehrere Winkelfunktionen enthalten. Ich muß jetzt zur
Arbeit, heute Abend kann ich sie vielleicht entwickeln.

Wenn ich mich unklar ausgedrueckt habe, beruecksichtigt es
bitte, da deutsch nicht mehr meine erstsprache ist und fragt
lieber nochmal nach

Kein Problem, alles gut verständlich.

Liebe Gruesse aus Australien

No worries, mate :wink:

Good on ya, mate!

genumi

Ingo

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Hab keinen Schimmer wie ich deiner
Erklaerung folgen kann (bin halt nur Otto-normal-mathematiker
(1+1= 1,9 bis 2,1).
Kannst du mir das Anhand eines Beispiels erklaeren
Vielen Dank nochmal
Gruss Ingo

Hallo Ingo,

die Erklärung ist nicht einfach, wenn man nicht weiss wie weit man mit seiner mathematischen Argumentation gehen kann. Die Endformel für die Flansche mit 22,5° habe ich dir hergeleitet:
W(v1,v3) ≈ arccos(0,85355-0,14645*cos(φ))
Man setzt für φ den Winkel ein, der den Flansch um die Längsachse dreht und man erhält die Werte, die auch AutoCad errechnet hat. Z.B.
φ = 90° --> W(v1,v3) ≈ arccos(0,85355-0,14645*cos(90°)) = arccos(0,85355-0,14645*0) = arccos(0,85355) ≈ 31,4
φ = 140° --> W(v1,v3) ≈ arccos(0,85355-0,14645*cos(140°)) ≈ arccos(0,85355-0,14645*(-0,766)) = arccos(0,85355+0,1121807) = arccos(0,9657307) ≈ 15,043

Ich werde mal versuchen die Herleitung für zwei 45°-Flansche schrittweise durchzuführen.
Mathematisch gesehen betrachte ich den Flansch als zwei Ortsvektoren V1 und Vd („V“-förmig evtl. auch mit verschiedenen Längen).
Schreibweise v = (x,y,z).
Beziehungen zwischen Winkel und zwei Vektoren liefert das Skalarprodukt: Sei v1 = (x1,y1,z1) und v2=(x2,y2,z3) dann gilt
= x1x2+y1y2+z1z2 oder
**= Länge(v1)*Länge(v2)*cos(Winkel(v1,v2)) = |v1||v2|cos(
Für die Länge gilt: |v| = √(x²+y²+z²)

So, nun legen wir einen Flansch in die x-z-Ebene des Koordinatensystem, so dass die Spitze im Nullpunkt und eine Seite Vx auf der x-Achse liegt. Da die Längen der Seiten irrelevant sind, können wir sie beliebig vorgeben (>0). So wähle ich
Vx = (1,0,0) und
v1 = (1,0,1). Nun nehme ich noch so ein „V“ und lege es in die x-z-Ebene, so dass eine Seite mit Vx übereinstimmt und für die andere gilt
v2 =(1,0,-1). Der Winkel zwischen v1 und v2 muss nun 90° sein. Machen wir einen Test:
|v1| = √(1²+0²+1²) =√(2) und |v2| = √(1²+0²+(-1)²) =√(2)

= 1*1 + 0*0 - 1*1 = 0 und
=|v1||v2|cos( =1*1+0*sin(φ) - 1*cos(φ) = 1-cos(φ)
=|v1||v3|cos(

φ = 0° ===>**

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Hi…

Schwerwiegender ist, daß die Schnittflächen der Rohrstücke nur in
zwei Stellungen (0° und 180°) exakt aufeinander passen.

Wie meinst du das?

Die Schnittflächen sind elliptisch, nicht kreisförmig. Dadurch passen sie nicht in jeder Stellung exakt aufeinander. Am leichtesten sieht man das an einem Modell. Säg doch mal das Papprohr aus einer Rolle Küchenpapier ab und halte die zwei Teile in verschiedenen Stellungen aneinander.

wenn ich die Schnittflaechen aufeinander
lege ist eine Aussenseite eben nicht mehr 45 Grad und genau
das wollte ich ja berechnen

Der Winkel ist kein großes Problem, wenn man mit Vektorrechnung zurechtkommt. Da Du mit Franks Erklärung Schwierigkeiten zu haben scheinst, habe ich mal versucht, ohne Vektoren auszukommen. Die Rechnung wird, wie ich vermutet hatte, äußerst kompliziert und unübersichtlich.

genumi