Hallo,
bei der Rotation von aXr (a=const,r=(x,y,z)), bekommt man ja bekanntlich:
rot(aXr)=2a
Hmmm… aber wenn ich nun statt, rot den Nablaoperator d nehme und die Regel: ax(bxc)=b(a.c)-c(a.b) verwende, komme ich auf:
rot(aXr)=dx(axr)=a(d.r)-r(d.a)=3a-0=3a
Was hab ich denn falsch gemacht??
Gruß
OLIVER
Lieber Oliver,
leider habe ich keinen „Bronstein“, aber da steht es auf jedenfall drin!
Franziska
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Puh, so auf die Schnelle schwer zu sagen… wahrscheinlich wird bei der Herleitung der „bac minus cab“ - Regel etwas kommutiert, was dann mit dem Differentialoperator nicht mehr geht.
Auf jeden Fall ist die richtige Herleitung:
[rot(axr)] = € d (axr)
i ijk j k
= € d € a r
ijk j klm l m
= (delta delta -delta delta )d a r
il jm im jl j l m
= delta a r -d a r
j i j j j i
= 3a -a
i i
= 2a
i
(d ist die partielle Ableitung, € ist der Epsilon-Tensor, delta das Kronecker-Symbol, es gilt die Einsteinsche Summenkonvention)
Korrektur
Hoppla, kleiner Tippfehler passiert. In der dritten Zeile von unten heißt es d und nicht delta:
[rot(axr)] = € d (axr)
i ijk j k
= € d € a r
ijk j klm l m
= (delta delta -delta delta )d a r
il jm im jl j l m
= d a r -d a r
j i j j j i
= 3a -a
i i
= 2a
i
rot(aXr)=dx(axr)=a(d.r)-r(d.a)=3a-0=3a
Das Skalarprodukt ist nicht kommutativ, wenn man als Faktoren
Differentialoperatoren wählt. Die Formel lautet korrekt:
NABLA x (a x r) = (NABLA * r)a - (a * NABLA)r = 2a.
Gruß
meridium