Hallo,
ich hab einmal eine Frage zur Berechnung des Volumens, das
entsteht, wenn man eine Funktion um die y-Achse rotieren lässt.
dafür gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, und entsprechend zwei Formeln. Erklärung folgt.
Bei der Rotation um die x-Achse hatte man ja die Kurve in
viele kleine Zylinder eingeteilt, deren Volumen man aufaddiert
hatte:
VZyl = pi*r^2*dx wobei r dem Funktionswert von f(x) entsprach:
V = pi ∫ f(x)^2*dx
Ja. Eine Scheibe (= flacher Zylinder) mit Radius r und Dicke d hat das Volumen
VScheibe = π r2 d.
Bei der Rotation einer Funktion f(x) um die x-Achse auf diese Weise…
Fall Xa: Y
-------- |
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| oo oo = Graph der Funktion f(x)
| oo++
| #o++++ xx = Funktionsgraph-
| oo#+++++ Spiegelbild
| ++#+++++ |
---------------+---++#+++++----X ++ = Rotationskörper
| ++#+++++ |
| xx#+++++
| #x++++
| xx++
| xx
|
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…ist der Radius der am Ort x senkrecht stehenden infinitesimal dünnen Scheibe gleich f(x), und die – für alle Scheiben gleiche – Scheibendicke ist dx (eine Scheibe hab ich mit „#“ markiert). Also ergibt sich für das Volumen V = ∫ dV des Rotationskörpers
Fall Xa: V = ∫ π f2(x) dx.
Das fand ich sehr schön anschaulich und nachvollziehbar.
Wenn man nun die Rotation um die y-Achse berechnen wollte,
hatte man einfach die Umkehrfunktion genommen und dann die
Rotation um die x-Achse angewendet - das war auch noch gut
vorstellbar.
Richtig – unter der Voraussetzung, dass Du als Integralgrenzen dann nicht a und b nimmst , sondern f–1(a) und f–1(b), wobei f–1 die Umkehrfunktion von f bezeichnet. Dann berechnest Du das Volumen dieses Rotationskörpers:
Fall Ya: Y
-------- --|--
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xx+++++++++++++++++++oo
xx+++++++++++++++oo
xx+++++++++++oo
xx+++++++oo
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---------------+---------------X
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Fall Ya: V = ∫ π x2 f’(x) dx
(Begründung weiter unten)
Jetzt habe ich in einem Buch aber auch eine andere Formel
gesehen, mit der ich das Volumen bei der y-Rotation berechnen kann:
V = ∫ 2*pi*x*f(x)*dx
Die Formel ist richtig, aber es ist das Volumen eines anderen Rotationskörpers, nämlich dem hier:
Fall Yb: Y
-------- --|--
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xx | oo
++xx | oo++
++++x# | #o++++
+++++#xx | oo#+++++
+++++#++ | ++#+++++
----+++++#++---+---++#+++++----X
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Fall Yb: V = ∫ 2 π x f(x) dx.
Ich muss zugeben, dass ich mir hierbei leider nicht vorstellen
kann wie diese Formel sich zusammen setzt. (Wie kann man sich
die Stücke, die aufaddiert werden, anschaulich vorstellen (so
wie bei der y-Rotation die Zylinder))?
Im Fall Yb besteht der Rotationskörper nicht aus dünnen Scheibchen, sondern aus dünnen Ringen (einen davon hab ich in der Skizze mit „#“ markiert). Ein dünner Ring mit Radius r, Breite b und sehr kleiner Dicke d hat das Volumen
Vdünner Ring = 2 π r b d.
(dünner Ring aufgeschnitten und plattgewalzt → Quader der Länge 2 π r = Ringumfang, Breite b und Dicke d)
Damit erklärt sich die Yb-Formel: Der Radius ist x, die Breite ist f(x) und die infinitesimal kleine Dicke ist dx.
Zudem bin ich auf dieser Seite:
http://matheraum.de/forum/Rotation_um_y-Achse/t446890
auf folgende Formel gestoßen (für die y-Rotation)
V = ∫ pi*x^2*f’(x)dx
Das ist die Formel für den Rotationskörper gemäß Fall Ya (siehe oben)! Der Radius der Scheibchen ist x, und ihre Dicke ist f’(x) dx. Das besondere ist hier, dass die Dicke – anders als im Fall Xa – nicht konstant ist. Wenn Du auf der x-Achse das Stück dx vorwärtsmarschierst, „erzeugst“ Du eine umso dickere Scheibe, je steiler f(x) an dieser Stelle ist. Hat f die Steigung 1, ist die Scheibendicke dx, aber wenn f z. B. die Steigung 5.6 hat, ist die Scheibendicke 5.6 dx. Allgemein ist die Scheibendicke f’(x) dx.
Mir ist nur aufgefallen, dass beide Integrale eigentlich nur
einen Teil der Ableitung von (x^2*f(x)) sind:
Einmal 2*x*f(x) und einmal x^2*f’(x) -hat das was miteinander zutun?
Nein.
Zu guter Letzt gibt es auch noch eine zweite Möglichkeit für die Erzeugung eines Rotationskörpers durch Drehung um die x-Achse:
Fall Xb: Y
-------- |
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++++++++++oo
++++++++oo
++++++oo
++++oo
| |
---------------+---------------X
| |
++++xx
++++++xx
++++++++xx
++++++++++xx
|
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Fall Xb: V = ∫ 2 π f(x) x f’(x) dx
Weil die infinitesimal dünnen Ringe den Radius f(x), die Breite x und die Dicke f’(x) dx haben.
Ups, jetzt hast Du sogar noch eine Formel mehr, aber ich hoffe, dass es trotzdem klarer geworden ist.
Gruß und schönen Sonntag
Martin
