Rotationskörper mit Bereichsintegral lösen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo, ich habe hier seit längerem ein Problem in meiner Aufgabensammlung. Es geht um das lösen des Volumens eines Rotationskörpers um die X-Achse.
In meinen Lehrbüchern und Skripten finde ich immer nur Aufgaben in denen der Körper um die um die Z-Achse rotiert.

Aufgabe:
„Der Bereich B wird durch die Koordinatenachsen und die Kurve y=cos(WURZEL(X)) , bis zur kleinsten Nullstelle, begrenzt.
B rotiert um die x-Achse. Welches Volumen hat der Rotationskörper?“

Ich hoffe mir kann jemand erklären wie der Ansatz der Aufgabe lautet.

PS: Das Ergebnis ist 2,3049

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hallo

also wir haben das auch mal gemacht mit den rotationskörpern, nur verstehe ich nicht sind die nullstellen in der aufgabenstellung schon gegeben oder musst du die erst noch berechnen?

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moin;

Deine Funktion hat mit z überhaupt nichts zu tun :wink: Ich nehme an, die dir bekannten Formeln kannst du auf dieses Problem anwenden.

B ist die Flächen unter dem Graphen von f(x)=cos(x1/2) zwischen x=0 (der y-Achse) und der kleinsten Nullstelle.

Cos((2n+1)*pi/2) ist für ganzzahlige n 0, das sollte bekannt sein, die kleinste (positive, da die Wurzel einer negativen Zahl im Reellen nicht definiert ist) Zahl, für die dies gilt ist demnach pi/2.

Damit wissen wir, dass sqrt(x0)=pi/2 ist.
Beide Seiten quadriert führt auf x0=pi²/4.

Integrationsgrenzen sind also 0 und pi²/4. Das jetzt in die allseits beliebte (und hoffentlich bekannte) Formel einsetzen und fertig.

mfG

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Hallo,

nein die Nullstellen sind nicht gegeben, die kann man ja mit Hilfe der Funktion y=cos(WURZEL(x)) berechnen.
Die Nullstelle währe demnach bei x=(arccos(0))^2 = 2,467.

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Moin,

die Nullstelle habe ich auch berechnet, nur weiß ich jetzt nicht weiter wie ich die Grenzen in ein Bereichsintegral(Dreifachintegral) einsetze.

Ich gehe eigentlich nur von einem Bereichsintegral aus, da die Aufgabe auf einem Übungszettel steht der als Hauptthema Bereichsintegrale hat.

Kann es sein das die Aufgabe gar nicht mit einem Bereichsintegral gelöst werden kann, sondern anstelle nur in die Formel

V = Pi * Integral( (f(x))^2 ) dx

eingesetzt werden muss?

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moin;

hmm, Bereichsintegrale habe ich noch nicht gehört… meinen Recherchen zufolge handelt es sich anscheinend um das, was ich als Doppelintegral kennengelernt habe :smile:
Allerdings gibt es für die spezielle Form Körper namens „Rotationskörper“ eine schönere Möglichkeit zu rechnen, als stur mit dem Doppelintegral.

Demnach ist deine Formel
V = Pi * Integral( (f(x))^2 ) dx
(in welchen Grenzen? :wink: ) für diese Problemstellung richtig. :smile:

mfG

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Alles klar, das wird denn wohl so richtig sein.

Vielen Dank für deine Hilfe.

MfG JMo

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Hallo,

jetzt muss man das Integral nur noch von 0 bis bis zur ersten Nullstelle (Pi^2)/4 lösen. Also

V = Pi*Integral((cos(Wx))^2)dx; in den Grenzen von 0 bis (Pi^2)/4

mit der Bezeichnung Wx = Wurzel(x).

Da nun gilt: (cos(Wx))^2=(1+cos(2Wx))/2 und das Integral über dem zweiten Term von 0 bis (Pi^2)/4 verschwindet, folgt:

V = Pi*Integral(1/2) = Pi*x/2 in Grenzen von x=0 bis x=(Pi^2)/4

Das ergibt: V = (Pi^3)/8

Grüße

Gunter

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Sorry, der zweite Term ist doch nicht null. Die richtige Lösung ist wohl:

V = (Pi^3)/8 - Pi/2

Vielleicht rechnet das noch mal jemand nach.
Nochmals Entschuldigung für die Fehler.

Gunter