Hallo,
Ein Roulettekessel besteht aus 37 kreisförmig angeordneten Feldern mit den Zahlen von 0…36.
Frage: Wie sind die Zahlen von 0-36 anzuordnen, damit die Summe aller Differenzen zweier jeweils benachbarter Zahlen maximal (bzw. minimal) wird?
z.B. bei der trivialen Anordnung 0;1;2;…;36 wäre die Summe der 37 Differenzen = 72. Es sind nur die positiven Beträge der Differenzen zu addieren.
Dumonde
PS
Wer weiß, wie Pascal auf die tatsächlich verwandte Anordnung der Zahlen kam?
Hallo Dumonde,
kann es zwar nicht beweisen, aber denke, dass beide Anordnungen die naheligensten sind, also (Umkehrpunkte = lokale Extremwerte)
Deine -> minimal
maximal: immer abwechselnd 18 nebeneinander (welche Kombination ist dabei dann egal. (Bsp: 0,37,1,36 …
Kein Beweis, aber ein Hinweis: Ich habe immer einen Umkehrpunkt (groß, klein, groß). Wenn ich z.B. 2 hohe Zahlen austausche, verändere ich den Gesamtabstand zu den 4 Nachbarn nicht. Tausch ich 1 große gegen eine kleine Zahl, so habe ich 3 kleine und 3 große Zahlen enbeneindaer, denen jeweils eine Spitze fehlt.
Vermutlich kann man jede Kombination, die nur aus Umkehrpunkten besteht auch benutzen. (also z.B. 1,3,2,28,27,29,0, …)
Wobei bei deiner Lösung natürlich auch ein ansteigen (und anschließen ein Abfall) um 2 möglich wäre, um die Zahlen ein bisschen „gemischter“ aussehen zu lassen. Wichtig ist also, dass es nur maixmal 2 Umkehrpunkte gibt (also: 1,3,5,7 …35,37 (Umkehrpunkt),36, 34, … 4,2,0 (Umkehrpunkt)
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Achim,
eigentlich ging ich davon aus, dass die Summe der Differenzen nie größer als die Summe der Zahlen sein könne (=666), weshalb ich etwas verblüfft bin.
Denn sowohl bei der Pascalschen als auch deiner Zahlenfolge liegt die durchschnittliche Differenz über der (von mir) max. erwarteten mittleren Differenz von 666/37=18 (was wohl vermutlich an der 0 liegt).
Roulette-Zahlenfolge nach Pascal (ursprünglich ohne Null)
0, 32, 15, 19, 4, 21, 2, 25, 17, 34, 6, 27, 13, 36, 11, 30, 8, 23, 10, 5, 24, 16, 33, 1, 20, 14, 31, 9, 22, 18, 29, 7, 28, 12, 35, 3, 26, (0)
Summe der 37 Differenzen: 668 (Mittelwert: 18,054)
Deine Zahlenfolge
0, 36, 1, 35, 2, 34, 3, 33, 4, 32, 5, 31, 6, 30, 7, 29, 8, 28, 9, 27, 10, 26, 11, 25, 12, 24, 13, 23, 14, 22, 15, 21, 16, 20, 17, 19, 18, (0)
Summe aller Differenzen: 684 (Mittelwert: 18,486)
Auch Pascal hat alternierend hohe und niedrige Zahlen, sowie zwei Umkehrpunkte (die Zahlen wirken für mich als beabsichtigte er eine max. unregelmäßige Folge, der Graph dazu sieht aus wie ein vollkommen stochastischer Prozess, Entropiemaximum?).
Vermutlich hat aber nur deine Folge den Maximalwert mit MAX = SUM(1…n) + n/2
Dumonde
Hallo Dumonde,
Danke für die Mühe, die Du Dir damit gemacht hast. Nur als kleine Ergänzung, falls es nicht von vornherein klar war:
Deine Zahlenfolge
0, 36, 1, 35, 2, 34, 3, 33, 4, 32, 5, 31, 6, 30, 7, 29, 8, 28,
9, 27, 10, 26, 11, 25, 12, 24, 13, 23, 14, 22, 15, 21, 16, 20,
17, 19, 18, (0)
Summe aller Differenzen: 684 (Mittelwert: 18,486)
bei dieser Zahlenfolge kann man die hohen Zahlen unter sich, und die niedrigen Zahlen unter sich beliebig mischen, ohne die Differenz zu verändern. Zudem kann die 18 irgendwo hin verschoben werden. Daher ist das Beispiel nur eines von sehr sehr vielen (etwa 2 * (18!)^2 wenn man z.B. bei der 0 als Startpunkt anfängt).
Gruß
achim
P.S.: Überlegung für die Kombination:
Startpunkt ist die 0, also noch 17 niedrige, 18 hohe Zahlen, die nächste ist eine hohe
-> 18*17*17*16*16*15 … = 18!*17!
die 18 selber kann bei jeder Lösung an Position 1 bis 36 gesetzt werden
-> 2 * 18 * 18! * 17! = 2 * 18! * 18! = 2 * 18!^2
= 81980778135594566280019968000000
= 82E30 = 82"PetaPeta"
(von daher gibt es sogar recht viele „optimale“ Kombinationen 
jetzt ist’s klar
Hallo Achim,
ich hatte etwas einen Knoten im Kopf, da ich die 18 zu den niedrigen Zahlen zählte und die 0 als eine Art neutrales Element auffasste, anstatt umgekehrt, zudem machte ich den Fehler, davon auszugehen, dass deine und die Originalfolge äquivalent wären (da beide alternieren) und führte deine höhere Summe auf die regelmäßige Anordnung zurück. Dabei habe ich übersehen, dass im Original (Roulette) ein (künstlicher) Umbruch zwischen 5 und 10 ist (also der „Umkehrpunkt“ fehlt), der allein für die niedrigere Summe verantwortlich ist. Verschiebe ich diese 5 an die 18, dann habe ich deine Folge, nur eben mit wild durcheinandergewürfelten Zahlen aber ebenfalls der max. Differenzensumme von 684 (damit ist vermutlich auch die Pascalsche Anordnung gar nicht so etwas besonderes wie zuerst gedacht).
Nochmal vielen Dank für deinen Hinweis und den jetzt klaren Kopf !
Gruß Dumonde
PS: (2 minimale und) 2*18!² maximale Möglichkeiten ist verblüffend viel (und das, obwohl nur etwa jede fünfmilliardste Möglichkeit maximal ist)
Hallo Dumonde,
falls es sich bei Pascal umd DEN Pascal handelt, bin ich sicher, dass mehr dahinter steckt als wir uns vorstellen können
Bei den 2 minimalen Möglichkeiten denke ich, dass es da auch mehr gibt, da ich zum einen 0,1,2,3 … 36 nehmen kann, aber auch
0,1,3,5 … 35,36,34,32 … 2
0,1,2,3, 5 … (wie gehabt) … 4
etc.
Gruß Achim
PS: (2 minimale und) 2*18!² maximale Möglichkeiten ist
verblüffend viel (und das, obwohl nur etwa jede
fünfmilliardste Möglichkeit maximal ist)