Rückzahlung von Unterhaltsvorschuss bei Eintritt in die Volljährigkeit

Kann mir mal jemand weiter helfen in Sachen Unterhaltsvorschuss.
Ich weiß nicht, wie die Rechtsfolge einzuschätzen ist.
Folgender Vorgang:
Unterhaltsvorschuss wurde gewährt an das Kind, vertreten durch den gesetzlichen Vertreter, in dem Fall die Mutter. Soweit noch normal.
Dann, das Kind hat eine Ausbildung angefangen, die Mutter hat das Einkommen, dass angerechnet werden müsste, bei der Unterhaltsvorschusskasse nicht angegeben.
Das ist irgendwann herausgekommen und die Unterhaltsvorschusskasse hat den zu viel bezahlten Betrag zurückgefordert. Bei der Mutter.
Da die nicht zahlen kann wird das Geld in Raten von dem laufenden Unterhalt, es bestand immer noch ein kleiner Anspruch, abgezogen.
In diesem Bescheid steht (in etwa, ich habe es nicht wörtlich vorliegen) dass die Raten von Unterhalt abgezogen werden solange dieser gezahlt wird oder bis zur Volljährigkeit des Kindes. Dann wird die Restsumme in einer Summe fällig.

Das Kind ist nun volljährig.

Wer wird nun der Zahlungspflichtige für die Restschuld sein?
Die Mutter, die die Sache versaut hat als gesetzlicher Vertreter, oder das nun volljährige Kind das ja begünstigt war?