Runden

Wissenschaft Physik
#1

bei zahlen gibt es ja prinzipiell 2 rundungsmethoden:
1)kaufmännischen runden, bei 5 wird immer aufgerundet
2)mathematisches runden, bei 5 wird aufgerundet wenn die vorhergehende zahl ungerade ist; abgerundet wenn die vorhergehende zahl gerade ist.

soweit ist es ja klar.
man stelle sich vor man hat mehrere messergebnisse verschiedener versuche/experimente. nach welchen verfahren rundet man nun?

bsp.: 3 ergebnisse: 2.548; 3.255; 3.425, wenn diese zahlen auf die zweite kommastelle gerundet werden gibt es ja 2 möglichkeiten.
1)2.55; 3.26; 3.43
2) 2.55; 3.26; 3.42

mfg roberto

#2

Moin, roberto,

das „mathematische“ Runden ist mir völlig fremd, hast Du dazu mal eine Quelle?

Mir ist sowas schon mal als „statistisches“ Runden verkauft worden: Durch diese Festlegung sollen Messfehler minimiert werden. Mir konnte allerdings keiner erklären, warum dadurch die Erfassung besser werden sollte.

Gruß Ralf

#3

man stelle sich vor man hat mehrere messergebnisse
verschiedener versuche/experimente. nach welchen verfahren
rundet man nun?

Nach dem mathematischen oder „statistisch korrekten“ Runden, weil das im Idealfall (unendlich viele, perfekt verteilte Messwerte) den Mittelwert unverändert lässt. Kaufmännisches Runden würde ihn systematisch in Richtung größerer Werte verschieben.

Gruß
Martin

#4

Hallo,

man stelle sich vor man hat mehrere messergebnisse
verschiedener versuche/experimente. nach welchen verfahren
rundet man nun?

Nach dem mathematischen oder „statistisch korrekten“ Runden,
weil das im Idealfall (unendlich viele, perfekt verteilte
Messwerte) den Mittelwert unverändert lässt. Kaufmännisches
Runden würde ihn systematisch in Richtung größerer Werte
verschieben.

In der Praxis rundet man .5 trotzdem immer auf. Zumindest haben wir das im physikalischen Praktikum (und der dazugehörigen Fehlerrechnungsvorlesung) gelernt.

Das „mathematische“ Runden hat den Nachteil, dass die Werte relativ zueinander nicht konsistent behandelt werden.

Grüße,
Moritz

#5

Hallo!

Kaufmännisches
Runden würde ihn systematisch in Richtung größerer Werte
verschieben.

Wieso das denn?

1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9

  1. Argument:
    Das sind zehn Zahlen. Davon werden genau fünf abgerundet und genau fünf aufgerundet. Warum sollte sich da etwas zugunsten der größerer Zahlen verschieben?

  2. Argument:
    Wenn auf ganze Zahlen gerundet wird, dann ist die erste Nachkommastelle das Kriterium, das zwischen Aufrunden und Abrunden unterscheidet. Alle weiteren Nachkommastellen fallen vollkommen unter den Tisch. Dabei ist es aber so, dass 1,5 genau in der Mitte zwischen 1 und 2 liegt. Eine Zahl, die als erste Nachkommastelle eine fünf hat, ist mit 99,99999…% Wahrscheinlichkeit **echt größer als „…Komma-Fünf“. Würde man willkürlich 50% der Zahlen mit „…,5“ abrunden, so würde man das Gleichgewicht sogar zugunsten der kleinen Zahlen verschieben.

Oder reden wir nur über Zahlen, die als letzte Ziffer eine fünf hat. D. h., ob man 3/2 aufrundet oder abrundet.

In der „echten“ Mathematik ist 3/2 eine exakte Zahl. Es gibt überhaupt keinen Grund, warum man runden sollten. In allen anderen Wissenschaft (wo die Mathematik nur als Sprache verwendet wird) gibt es solche Zahlen nicht. Die Temperatur beträgt nicht exakt 3/2°C, sondern 1,502…°C, wobei wir die weiteren Nachkommastellen nicht kennen. Hier ist die Frage, ob der exakte Bruch 3/2 auf- oder abgerundet wird, ziemlich müsig.

Michael**

#6

Moin,

Kaufmännisches
Runden würde ihn systematisch in Richtung größerer Werte
verschieben.

Wieso das denn?

Deswegen:
org - kaufm - stat

 1,5 2 1
 2,5 3 3
 3,5 4 3
 4,5 5 5
 5,5 6 5
 6,5 7 7
 7,5 8 7
 8,5 9 9
---------
µ=5,0 5,5 5,0

Trotzdem habe ich statistisches Runden noch nie angewandt.

Gruß,
Ingo

1 Like
#7

Hallo Michael,

1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9

  1. Argument:
    Das sind zehn Zahlen. Davon werden genau fünf abgerundet und
    genau fünf aufgerundet. Warum sollte sich da etwas zugunsten
    der größerer Zahlen verschieben?

der Mittelwert aus den fünf Einsen und den fünf Zweien, die Du dann errundet hast, ist 1.5 und damit etwas zu hoch, denn der Mittelwert der ungerundeten obigen Zahlen ist (1.0 + 1.1 + 1.2 + … + 1.9)/10 = 1.45.

http://de.wikipedia.org/wiki/Rundung

Gruß
Martin

#8

Hallo!

der Mittelwert aus den fünf Einsen und den fünf Zweien, die Du
dann errundet hast, ist 1.5 und damit etwas zu hoch, denn der
Mittelwert der ungerundeten obigen Zahlen ist (1.0 + 1.1 + 1.2

  • … + 1.9)/10 = 1.45.

Das stimmt nur dann, wenn die Zahlen (so wie ich sie geschrieben habe) nach der ersten Nachkommastelle abbrechen. In der Regel haben Dezimalbrüche aber beliebig viele Nachkommastellen, so dass alle Zahlen mit der ersten Dezimalen „0“ in Wirklichkeit zwischen „…,0“ und „…,1“ liegen.

Man Einwand könnte durch folgendes Zitat von der Wikipedia-Seite geklärt werden:
„Kaufmännisches und unverzerrtes mathematisches Runden unterscheiden sich nur darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.“

Bedeutet das Wörtchen „genau“, dass wir uns hier nur um exakt „…,5“ unterhalten? Also konkret:

1,5 wird aufgerundet, weil 1 eine ungerade Zahl ist.
2,5 wird abgerundet, weil 2 eine gerade Zahl ist.
2,5000000000000001 wird aufgerundet, weil es echt größer als 2,5 ist.

Stimmt das so?

Wenn dem so ist, dann ist das „unverzerrte Runden“ nur dort von Bedeutung, wo man häufig mit Dezimalbrüchen zu tun hat, die nach der n-ten Stelle abbrechen. Das dürfte eher im kaufmännischen als im naturwissenschaftlichen Bereich eine Rolle spielen.

Michael

#9

Hallo,

Das stimmt nur dann, wenn die Zahlen (so wie ich sie
geschrieben habe) nach der ersten Nachkommastelle abbrechen.

so ist es!

In der Regel haben Dezimalbrüche aber beliebig viele
Nachkommastellen, so dass alle Zahlen mit der ersten Dezimalen
„0“ in Wirklichkeit zwischen „…,0“ und „…,1“ liegen.

Es kommt darauf an, wo die Dezimalbrüche herkommen. Wenn sie auf dem Display eines digitalen Spannungsmessgeräts, das an irgendeinen Sensor angeschlossen ist, angezeigt werden, trifft es zu. Nimmst Du Dir dagegen eine Woche lang jeden Tag einen 200er-Karton Glühbirnen vor, um jede einzelne davon zu prüfen, dann wirst Du immer, wenn eine ungerade Zahl davon defekt ist, eine genaue „XY.5“-Prozentzahl an defekten Exemplaren erhalten. Falls Du dann aus irgendeinem Grund auf ganzzahige Prozentzahlen runden willst, siehst Du Dich mit der Frage nach der Rundung der „XY.5“-Werte konfrontiert.

Man Einwand könnte durch folgendes Zitat von der
Wikipedia-Seite geklärt werden:
„Kaufmännisches und unverzerrtes mathematisches Runden
unterscheiden sich nur darin, wohin eine Zahl
genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit
der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.“

Bedeutet das Wörtchen „genau“, dass wir uns hier nur um exakt
„…,5“ unterhalten? Also konkret:

Ja!

1,5 wird aufgerundet, weil 1 eine ungerade Zahl ist.
2,5 wird abgerundet, weil 2 eine gerade Zahl ist.
2,5000000000000001 wird aufgerundet, weil es echt
größer als 2,5 ist.

Stimmt das so?

Und wie :smile:

Wenn dem so ist, dann ist das „unverzerrte Runden“ nur dort
von Bedeutung, wo man häufig mit Dezimalbrüchen zu tun hat,
die nach der n-ten Stelle abbrechen. Das dürfte eher im
kaufmännischen als im naturwissenschaftlichen Bereich eine
Rolle spielen.

Exakte Zwischenwerte können prinzipiell überall entstehen, wo irgendetwas abgezählt wird, vgl. obiges Beispiel. Das kommt durchaus auch in der Naturwissenschaft vor, z. B. beim Millikanversuch (Elektronen auf den Öltröpfchen), oder in Diffraktometern, wo Röntgenquanten einzeln gezählt werden (während fester Zeitintervalle; 210 Quanten pro Minute wären exakt 3.5 pro Sekunde), desgleichen die Zerfallsprozesse im Geigerzähler.

Schönen Sonntag
Martin