Rundungsfehler beim Abtasten?

Wissenschaft Physik
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Hallo,

aus der Signaltheorie weiß man, daß man jedes bandbegrenzte analoge Signal wiedergewinnen kann, in dem man es mit der doppelten Frequenz des im analogen Signals vorkommenden höchsten Frequenzanteils abtastet (Abtasttheorem nach Shannon).

Nun habe ich aber ein Problem.
Abtastfrequenz sei 10 Hz, höchste wiedergewinnbare Frequenz also 5 Hz, ideale Abtastung.

Man kann hier 1Hz abtasten, genauso 2Hz und auch 5Hz.Aber bei 3Hz wird es bereits schwierig, weil die Abtastfrequenz ein ungeradzahliges Vielfaches des Nutzsignals von 3 Hz ist, es treten also Rundungsprobleme auf.

Genauso bei Zwischenwerten, etwa 3,5Hz, oder 4,2Hz usw.

Ich kenne zwar Lattenzauneffekt und spektralen Leckeffekt, doch sie treten erst dann auf, wenn keine ideale Abtastung vorliegt.

Mache ich hier einen Denkfehler, wenn ich von Rundungsproblemen spreche? Oder ist es tatsächlich so.

Gruß,
Watchercallit.

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Hallo

aus der Signaltheorie weiß man, daß man jedes bandbegrenzte
analoge Signal wiedergewinnen kann, in dem man es mit der
doppelten Frequenz des im analogen Signals vorkommenden
höchsten Frequenzanteils abtastet (Abtasttheorem nach
Shannon).

nicht ganz, wenn die Abtastfrequenz genau doppelt so groß ist wie die Nutzfrequenz, tastest Du im „Idealfall“ genau die Nulldurchgänge ab. Damit ginge Dein Signal völlig verloren. Selbst wenn Du nicht die Nulldurchgänge erwischst, geht Dir zumindest die Information über die Amplitude verloren.
Die Abtastfrequenz muß höher als die doppelte Signalbandbreite sein.

Nun habe ich aber ein Problem.
Abtastfrequenz sei 10 Hz, höchste wiedergewinnbare Frequenz
also 5 Hz, ideale Abtastung.

Wie gesagt, 5 Hz sind nicht wiedergewinnbar

Man kann hier 1Hz abtasten, genauso 2Hz und auch 5Hz.Aber bei
3Hz wird es bereits schwierig, weil die Abtastfrequenz ein
ungeradzahliges Vielfaches des Nutzsignals von 3 Hz ist, es
treten also Rundungsprobleme auf.

das verstehe ich jetzt nicht. 10 Hz ist ein ungeradzahliges Vielfaches des Nutzsignals von 3 Hz ???
Warum sollen ausgerechnet da Rundungsfehler auftreten ?

Genauso bei Zwischenwerten, etwa 3,5Hz, oder 4,2Hz usw.

und warum gerade da ?

Mache ich hier einen Denkfehler, wenn ich von
Rundungsproblemen spreche? Oder ist es tatsächlich so.

Da mußt Du vielleicht erstmal etwas genauer erklären, wo das Problem ist.

Jörg

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FFT DFT und leakage
Hi,

Man kann hier 1Hz abtasten, genauso 2Hz und auch 5Hz.Aber bei
3Hz wird es bereits schwierig, weil die Abtastfrequenz ein
ungeradzahliges Vielfaches des Nutzsignals von 3 Hz ist, es
treten also Rundungsprobleme auf.

Genauso bei Zwischenwerten, etwa 3,5Hz, oder 4,2Hz usw.

Yepp, die Energie solcher nicht gesampelten Frequenzen wird über das Spektrum verteilt.

Mache ich hier einen Denkfehler, wenn ich von
Rundungsproblemen spreche? Oder ist es tatsächlich so.´

Es ist so.
Entschuldige, wenn ich hier keine Details anführe, das Thema ist ziemlich komplex. In den einschlägige Lehrbüchern wird das Thema aber normalerweise behandelt:
z.B. E. Schrüfer, Signalverarbeitung, Hanser, München.
Solche Lehrbücher sollten in jeder besseren Bibliotghek zu finden.

Bis Montag die Bibliotheken wieder aufmachen:
Es gibt auch im Web gute tutorials, gib einfach mal in google

DFT FFT leakage
ein und du wirst förmlich überhäuft mit Information.

Ich hoffe, du hast damit einen guten Startpunkt für weitere Recherchen

Rossi

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Ergänzung und Erläuterung

das verstehe ich jetzt nicht. 10 Hz ist ein ungeradzahliges
Vielfaches des Nutzsignals von 3 Hz ???
Warum sollen ausgerechnet da Rundungsfehler auftreten ?

Weil 10/3=3,333… - also ein ziemlich „krummer“ Wert. Die 3Hz „passen“ nicht „sauber“ auf die Abtastabstände des Abtastsignals.

Genauso bei Zwischenwerten, etwa 3,5Hz, oder 4,2Hz usw.

und warum gerade da ?

Das sind nur Beispiele gewesen (mit möglichst „unmöglichen“ Frequenzen :smile: ).

Da mußt Du vielleicht erstmal etwas genauer erklären, wo das
Problem ist.

OK, Jörg, Danke erstmal für Deine Antwort, ich probiers mal etwas anders auszudrücken, was ich meinte:

Mir geht es um die TonINTERVALLE (Frequenzintervalle), die man unterscheiden kann bei der Abtastung. Also den Schritt von einem Ton zum nächsten, wie klein kann der maximal sein? Das Abtasttheorem sagt etwas über die maximale TonHÖHE aus, die aufgezeichnet werden kann. Bedeutet das aber nun, daß man beliebige Zwischenwerte der Frequenzen aufzeichnen kann?

In dem von mir gewählten Beispiel von 10Hz Abtastrate (ideale Abtastung) waren also 5Hz der höchste aufzeichenbare Ton (ok, ich bin hier ziemlich großzügig, und vereinfache das, Du hast schon recht, wenn Du sagst, die Abtastrate muß etwas höher sein als 10Hz bzw. das Nutzsignal hätte dann eben keine 5Hz…).

Die Abtastimpulse kommen also alle 0,1s, entsprechend 0,1Hz. Verschieden hohe Töne könnten also mit maximal 0,1Hz „Genauigkeit“ aufgezeichnet werden (ob es sich dabei nun um reine Sinustöne handelt oder andere Zeitverläufe, ist nicht wichtig dabei)? Dies war meine Frage.

Gruß,
Watchercallit.

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Weil 10/3=3,333… - also ein ziemlich „krummer“ Wert. Die 3Hz
„passen“ nicht „sauber“ auf die Abtastabstände des
Abtastsignals.

Das spielt keine Rolle. Dadurch ändern sich zwar die Abgetasteten Werte von Periode zu Periode, das mittelt sich aber über längere Zeit wieder aus.

Genauso bei Zwischenwerten, etwa 3,5Hz, oder 4,2Hz usw.

und warum gerade da ?

Das sind nur Beispiele gewesen (mit möglichst „unmöglichen“
Frequenzen :smile: ).

Bei kontinuierlicher Abtastung gibt es keine unmöglichen Frequenzen, solange die Obergrenze nicht erreicht oder überschritten wird

Mir geht es um die TonINTERVALLE (Frequenzintervalle), die man
unterscheiden kann bei der Abtastung. Also den Schritt von
einem Ton zum nächsten, wie klein kann der maximal sein? Das
Abtasttheorem sagt etwas über die maximale TonHÖHE aus, die
aufgezeichnet werden kann. Bedeutet das aber nun, daß man
beliebige Zwischenwerte der Frequenzen aufzeichnen kann?

Das hängt wesentlich von der Intervallänge T der Auswertung ab. Bei der DTF oder FFT siehst Du es ja direkt: Die Auflösung ist df = 1 / T. Die Zwischenwerte gehen natürlich nicht verloren sondern ergeben aufgrund der endlichen Intervallänge eine kontinuierliche Spektralverteilung um die abgetastete Frequenz herum. Die abgetastete Frequenz findet sich dann in den diskreten Spektrallinien der benachbarten Frequenzen wieder. Für T -> oo = kontinuierliche Abtastung wird die Auflösung beliebig hoch. Es wird also jede beliebige Frequenz im erlaubten Bereich gleichermaßen fehlerfrei aufgezeichnet.

Die Abtastimpulse kommen also alle 0,1s, entsprechend 0,1Hz.
Verschieden hohe Töne könnten also mit maximal 0,1Hz
„Genauigkeit“ aufgezeichnet werden (ob es sich dabei nun um
reine Sinustöne handelt oder andere Zeitverläufe, ist nicht
wichtig dabei)? Dies war meine Frage.

Nein, die Frequenzauflösung des Nutzsignales hat nichts mit der Abtastfrequenz zu tun. Die Abtastfrequenz bestimmt nur die Obergrenze. Die Frequenzauflösung wird von der Aufzeichnungsdauer bestimmt. Je kürzer die Aufzeichnungsdauer desto größer die Fehler. Wenn Du z.B. eine Gleichspannung über ein kurzes Intervall aufzeichnest, bekommst Du jede Menge Wechselspannungen. Man versucht das durch Bewertungsfenster zu minimieren (z.B. cos2-Fenster)

Jörg

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Hi
Ergänzend:
Wenn das Abtastintervall nicht ein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer des fraglichen Signals ist kommt es zu Leakage-Effekten, die man durch ein geeignetes Windowing minimieren kann, wie Du hier schreibst:

Man versucht das durch Bewertungsfenster zu
minimieren (z.B. cos2-Fenster)

Ciao Rossi