S-Kurve als mathem. Funktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

wie kann man eine S-Kurve als Exponential-Funktion darstellen?

Ich weiß das man es durch Polynome machen kann. Ich möchte jedoch ausdrücklich wissen wie man es (durch evtl zusammengesetzte) Exponentialfunktionen darstellen kann.

Beispiele:

1.) Bakterienwachstum in einer Nährlösungsschale:
Bu beginn ist das Wachstum
exponentiell.

Je mehr sich jedoch die Bakterien in der Nährlösungsschale ausbreiten desto weniger freier Platz und weniger Nährstoffe steht noch zur Verfügung dann flacht das Wachstum wieder aber und geht in die Waagrechte.

2.) Anzahl verkaufter Digitalfotoapparate:
Zu Beginn exponentielles Wachstum.

Später je mehr Leute eine Digitalkamera besitzen desto langsamer wächst die Gesamtanzahl. Man könnte jetzt argumentieren neue Generation mit höherer Auflösung, Trend zur Zweit-, Dritt- und Viertkamera - mag alles sein. Trotzdem tritt eine Sättigung ein und das bedeutet die Kurve geht in die Waagerechte.

Wie stellt man das mathematisch dar?

#2

Moin,

wie kann man eine S-Kurve als Exponential-Funktion darstellen?

das nennt sich explizite Form der Logistischen Funktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

Gandalf

#3

Hallo,

Hallo!

Wie stellt man das mathematisch dar?

Durch ein sogenanntes logistisches Wachstum. Die Differentialgleichung dazu lautet

f’(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))

was quasi eine Mischung aus exponentiellem Wachstum mit der Differentialgleichung

f’(t)=k\cdot f(t)

und beschränktem Wachstum mit der Differentialgleichung

f’(t)=k\cdot (S-f(t))

ist. S ist dabei die Schranke, was im Schaubild der waagerechten Asymptote für x->∞ entspricht.
Eine Lösung der logistischen Differentialgleichung hat die From

f(t)=\frac{S}{1+e^{-kSt}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}.

Das Schaubild einer solchen Funktion nennt man Sigmoide.

Gruß

hendrik

#4

Hallo Gandalf und Hendrick,

vielen Dank für eure Antwort. Klasse das das mit einer Funktion geht.
Der Hintergrund ist gar kein mathematischer sondern, dass ich mich mit

Zeitgeist Movement, der Zinseszins-Problematik und Kybernetischen Organisationsstrukturen beschäftige.

In kybernetischen Organisationsstrukturen nach dem Viable System Model sehe ich die Zukunft für alle Arten von Organisationen. Dazu entwerfe ich gerade ein Logo dass diese logistische S-Kurve und effizientes Funktionieren symbolisieren soll. Wenn das Logo fertig ist mache ich es PD.
Grüße
phenomen