S = r

Wissenschaft Physik
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Es sei S eine Teilmenge von der Menge der reelen Zahlen mit der Eigenschaft, dass (S,+,*) ein vollständiger angeordneter körper ist, wobei + und * dieselben Operationen wie in der Menge der reelen Zahlen sind. Zeigen Sie, dass S die Menge der reelen Zahlen ist.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

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Hallo,
Du beginnst mit dem offensichtlichsten das 0,1 Element von S sein müssen. Nutzt man die Gruppeneigenschaft von (S,+) gelangt man zu Z, verwendet man zusätzlich die Eigenschaften der Multiplikation (das multiplikative Inverse) ist man bereits bei Q. Und nun liefert Dir die Vollständigkeit (jede Cauchy-Folge konvergiert) R.

Gruss
Enno

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Vielen Dank Enno,
jetzt bleibt nur noch dir Frage, wie man das alles formal aufschreibt. Wenn ich das hab kann ich es dir ja mal schicken, damit du mir als Experte sagen kannst ob das alles so stimmt? Selbst wenn du keine Zeit dafür haben solltest, bin ich dir zu ewigem Dank verpflichtet.
mit freundlichen Grüssen C.A.

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Hallo,
klar kannst Du machen. Noch besser stell’ es als Link hier hinein. Dann können auch andere ihre Meinung dazu kundtun.

Gruss
Enno

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Zum formalen
Hallo,
Du kannst die skizzierten Schritte an sich direkt umsetzen:

  1. 0,1 sind in S, da (S,+,*) Unterkörper von (R,+,*) ist.
  2. Alle ganzen Zahlen sind in S enthalten.
    0,1 haben wir schon. Abschluß der Addition liefert die natürlichen Zahlen (das könnte man z.B. mittels Induktion zeigen), mit den addidativen Inversen jeder natürlichen Zahl werden alle ganzen Zahlen abgedeckt.
  3. Die rationalen Zahlen sind in S enthalten.
    Zu jeder Zahl z aus S (0), muß ihr multiplikatives Inverses existieren. Damit ist { 1/z | z Element aus Z und z0 } eine Teilmenge von S. Jede rationale Zahl p/q, läßt sich als Summe 1/q+…+1/q (p-mal) darstellen. Die Abgeschlossenheit bgzl. + liefert somit alle rationalen Zahlen (analog zu 2. könnte man dies via Induktion zeigen).
  4. Die reellen Zahlen sind in S enthalten.
    Das hängt nun stark davon ab, wie ihr die reellen Zahlen eingeführt habt. Wenn sie als Vervollständigung von Q definiert wurden, ist hier nichts zu zeigen.

Gruss
Enno

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  1. Alle ganzen Zahlen sind in S enthalten.
    0,1 haben wir schon. Abschluß der Addition liefert die
    natürlichen Zahlen (das könnte man z.B. mittels Induktion
    zeigen), mit den addidativen Inversen jeder natürlichen Zahl
    werden alle ganzen Zahlen abgedeckt.

Reicht noch nicht, wenn Du 0 und 1 und einen Körper hast, könntest Du ja theoretisch auch Fp haben. Hier geht noch ein, dass Du einen angeordneten und somit unendlichen Körper S gegeben hast.

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Hallo,
Fp wäre doch aber kein Unterkörper von R. Addition und Multiplikation sind ja vorgegeben und max. Einschränkungen der aus R bekannten Operationen.

Gruss
Enno

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Hallo,
Fp wäre doch aber kein Unterkörper von R.
Addition und Multiplikation sind ja vorgegeben und max.
Einschränkungen der aus R bekannten Operationen.

Aber die Voraussetzung war, dass S eine Teilmenge und kein Unterkörper ist

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Hallo,
ja aber + und * sind vorgegeben und bei S max. Einschränkungen von der „reellen“ Addition und Multiplikation. Wäre S endlich müßte es ja zwangsläufig für jedes a aus S{0} zwei natürliche Zahlen n,m geben mit n

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Für mich ist die Addition in Fp die gleiche, wie in R, nur eben, dass z.B. in F2 1=3=5… ist. Naja, vielleicht auch nur in meiner Vorstellung.

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Hallo,
was sind für Dich die Elemente von F_2 resp. GF(2) ?

Gruss
Enno

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Alles mögliche. Eins und Null. Oder Äquivalenzklassen.

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Hallo,

Alles mögliche. Eins und Null. Oder Äquivalenzklassen.

na ja - da würde ich halt sagen, daß Addition und Multiplikation nicht dieselben sind, wie in R.

Gruss
Enno