Sakai Kreisel: Kreisel aus Büroklammer

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen,

ich muss über die Ferien ein Übungsblatt bearbeiten, darunter ist folgenden Aufgabe:

Man biegt ein Drahtstück derart zu einem Kreisel, dass der Schwerpunkt dieses Kreisels in der Kreiselachse liegt, die wiederum aus zwei Halbachsen besteht. Zeigen Sie, dass dann der Winkel β zwischen den Speichen β=53,13° sein muss.

hier ein Bild zur Veranschaulichung:
http://zeitung.informatica-feminale.de/wp-content/up…

Meine Überlegung zum Problem war folgende:

Man muss im Prinzip nur zeigen, dass der Schwerpunkt des Kreisels in der Drehachse liegt.
Das heisst ich versuche zu zeigen, dass die beiden Strecken, die den Winkel von 53,13° begrenzen und genau gegenüberliegende Teil des Kreises zusammen ihren Schwerpunkt auf der Drehachse haben.
Dies sollte mit der Formel zur Berechnung des Schwerpunktes möglich sein.

Was ich leider bislang noch nicht richtig verstanden habe, ist wie man bei der Schwerpunktsformel von einer Summe ins Integral übergehen kann (Voraussetung: konstante Massenverteilung!? Roh=konstant). Kann mir hierzu jemand den Mathematischen Hintergrund erleutern?!

Oder bin ich mit der gesamten Überlegung auf dem Holzweg?

Besten Dank für die Hilfe.
Gruß Madde

#2

Hallo,

Was ich leider bislang noch nicht richtig verstanden habe, ist
wie man bei der Schwerpunktsformel von einer Summe ins
Integral übergehen kann (Voraussetung: konstante
Massenverteilung!? Roh=konstant). Kann mir hierzu jemand den
Mathematischen Hintergrund erleutern?!

der Schwerpunktvektor r S einer Ansammlung von Massepunkten (Massen mk an den Positionen r k) ist gegeben durch

r S = 1/M ∑k r k mk

mit M = ∑k mk = Gesamtmasse.

Für einen (nicht notwendigerweise homogenen) Klumpen mit kontinuierlicher Masseverteilung geht das über in

r S = 1/M ∫ r dm

Das infinitesimale Masseelement dm ist im 3D-Fall (räumliche Masseverteilung) dm = ρ dV mit ρ = Volumenmassendichte; im 2D-Fall (mit Masse belegte Fläche) dm = σ dA mit σ = Flächenmassendichte, und im 1D-Fall („Draht“) dm = λ dl mit λ = Längenmassendichte. Alle Massendichten sind ortsabhängig, also ρ( r ) etc.

Wenn Du für Dein Problem ein Koordinatensystem so einführst, dass die x-Achse die Symmetrieachse ist (= β-Winkelhalbierende) + die y-Achse senkrecht dazu + Ursprung im Kreismittelpunkt, dann kannst Du das Integral ∫ r dl in eine Summe zweier Integrale zerlegen – eins für das Radiusstück und eins für das Bogenstück. Wie sich beide Stücke parametrisieren lassen, liegt auf der Hand.

Versuch mal, diese Zeile nachzuvollziehen (R = Kreiselradius):

∫ r dl = ∫0…R r (cos(β/2) | sin(β/2)) dr + ∫0…π–β/2 R (cos(φ) | sin(φ)) R dφ

Die x-Koordinate des Schwerpunkts liegt also bei

xS = f (∫0…R r cos(β/2) dr + ∫0…π–β/2 R cos(φ) R dφ)

mit f = irgendein konstanter Vorfaktor, dessen Wert irrelevant ist, da wir an xS = 0 interessiert sind.

Ausführung der Integrale ergibt:

xS = … = f (1/2 cos(β/2) + sin(β/2)) R2

xS = 0 ⇔ 1/2 cos(β/2) + sin(β/2) = 0 ⇔ β = 2 arctan(1/2) ≈ 53.13°

So, das war etwas bruchstückhaft, aber Du sollst ja auch noch was tun.

Gruß
Martin

#3

Hallo

ich muss über die Ferien ein Übungsblatt bearbeiten, darunter
ist folgenden Aufgabe:

Man biegt ein Drahtstück derart zu einem Kreisel, dass der
Schwerpunkt dieses Kreisels in der Kreiselachse liegt, die
wiederum aus zwei Halbachsen besteht. Zeigen Sie, dass dann
der Winkel β zwischen den Speichen β=53,13° sein
muss.

Betrachtet man deine Skizze, könnte man der Meinung sein, dass der Kreisel unwuchtig ist, da der Umfang nicht geschlossen ist.
Die beiden "Speichen müssen bei einem rotierenden Kreisel also dieselbe Fliehkraft entwickeln, wie das fehlende „Umfangsstück“, damit er zentrisch läuft.
Es muß also sein:
C_umfang = 2*C_speiche, wenn C die jeweilige Fliehkraft bei der Winkelgeschwindigkeit omega ist.
Die Länge des „Umfangsstückes“ hängt ab vom Zentriwinkel, ebenso dessen Schwerpunktsabstand zum Mittelpunkt.
Der Rotationsradius der Speichen mit der Länge r hat den Abstand r/2 zum Mittelpunkt. Wirksam ist aber nur der Radius unter Berücksichtigung des cos des halben Zentriwinkels. Da hilft eine Skizze.
Ich meine, daß man auf diese Art auch den Zentriwinkel ausrechnen kann, ohne Integrale zu gebrauchen. Da du das aber gem. Aufgabe über Integrale lösen sollst, könnte dir dieser von mir skizzierte Lösungsweg vllt eine Hilfe zur Kontrolle sein. Die Lösung von Martin ist bemerkenswert und er erhält von mir dafür ein *.

Gruß:

Manni

#4

Vielen Dank!
das hat doch auf jedenfall weitergeholfen.
Ich konnte die Aufgabe jetzt zumindest teilweise losen.
x-Koordinate war kein Problem, leider wollte es jedoch mit der y-Koordinate nicht ganz so gut klappen.

Was mir immer noch ein bischen zu schnell ging ist der Übergnag von der Summe ins Integral. Wär klasse wenn dies noch ein klein wenig genauer erläutert werden könnte :smile:

Hier hab ich mal meine momentane Lösung hochgeladen:
http://madde.111mb.de//ExphysAufgabe35.pdf

VIELEN DANK FÜR DIE HILFE!!!

#5

Hallo,

die solideste Variante der Aufgabenbearbeitung wäre vielleicht, zunächst den Schwerpunktvektor des roten Teils komplett auszurechnen.

Draht homogen ⇔ Längenmassendichte nicht ortsabhängig ⇔  r S = ∫ r dl / ∫ dl

Der Schwerpunktvektor des roten Teils ist somit:

r Srot = [∫0…R r (–cos(θ) | sin(θ)) dr + ∫0…θ R (cos(φ) | –sin(φ)) R dφ] / [∫0…R dr + ∫0…θ R dφ)]

= …

= R 1/(θ + 1) (–1/2 c + s | 1/2 s + c – 1)

mit θ := β/2; c := cos(θ); s := sin(θ)

(0 ≤ β ≤ 360°; 0 ≤ θ ≤ 180°)

Jetzt kannst Du einen Funktionenplotter mit 1/(x + 1) (–1/2 cos(x) + sin(x)) bzw. 1/(x + 1) (1/2 sin(x) + cos(x) – 1) füttern und die Sache anhand der Graphen schon mal vorab abchecken.

Der Schwerpunktvektor des grünen Teils ist wegen Klappsymmetrie zur x-Achse evident:

r Sgrün = R 1/(θ + 1) (–1/2 c + s | –1/2 s – c + 1)

und der Schwerpunktvektor beider Teile zusammen ist der arithmetische Mittelwert aus „rot“ und „grün“ (arithmetischer Mittelwert aber nur, weil beide Teile gleiche Massen haben, allgemein ist es ein gewichtetes arithmetisches Mittel):

r Sgesamt = 1/2 ( r Srot + r Sgrün) = R 1/(θ + 1) (–1/2 c + s | 0)

Kreisel ausgewuchtet
⇔  r Sgesamt = 0
⇔ –1/2 c + s = 0
⇔ s/c = t = 1/2
⇔ θ = arctan(1/2) ≈ 26.565°
⇔ β = 2 arctan(1/2) ≈ 53.13°

Dann ist r Srot ≈ R (0.08 | 0) und r Sgrün ≈ R (–0.08 | 0). Die Schwerpunkte des roten und des grünen Teils liegen also nicht im Ursprung (!), sondern nur auf der y-Achse symmetrisch zum Ursprung. Dadurch kompensieren sie sich y-Schwerpunktkomponentemäßig gegenseitig.

Was mir immer noch ein bischen zu schnell ging ist der
Übergnag von der Summe ins Integral.

Holla, es handelt ich um nichts weiter als die Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe. Mach Dich mal schlau, was ein Integral ist; dann hast Du Deine Frage automatisch beantwortet.

Gruß und schönen Sonntag
Martin

(Zu Deinem Skript: Vektoren solltest Du – auch in Deinem Interesse – auch als solche kenntlich machen, z. B. wie bei Handgeschriebenem üblich durch einen Vektorpfeil über dem Formelbuchstaben. Oder willst Du nicht zwischen einem Vektor und seinem Betrag unterscheiden können?)

1 Like
#6

Vielen Dank!
Sehr kompetente Hilfe!!!
Besser hätte man mir kaum weiterhelfen können.

#7

Hallo Matthias,

Hier hab ich mal meine momentane Lösung hochgeladen:
http://madde.111mb.de//ExphysAufgabe35.pdf

Kannst du mir bitte mal verraten, wie du die Berechnung in dieser Größe als Bild einfügen konntest?
Ich habe es mit imageshack versucht, da kommt aber immer nur eine kleine Darstellung, bei der Zahlen nicht lesbar sind.
Deine Darstellung ist viel besser.
Vielen Dank im Voraus.

Gruß:
Manni

#8

das pdf ist bei http://www.111mb.de/ gehostet. da hab ich mir für genau solche fälle einen kleinen gratis webspace besorgt.
gruß

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]