Satz über implizite Funktionen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

Zu besagtem Satz haben wir eine Hausaufgabe erhalten, die mich etwas irritiert:
„Bestimmen Sie y’(x), wenn x\mapsto y(x) implizit durch die Gleichung F(x,y) = 0 definiert wird. Für welche x\in\mathbb R ist y(x) bzw. y’(x) definiert?“
Der letzte Satz ist dabei mein Problem. Erwartet hätte ich eher etwas wie „Für welche y(x) ist y’(x) definiert?“; so wurde es auch geübt und der Satz selbst besagt ja auch nur, dass Fy(x,y) ungleich Null sein muss.
Bei F(x,y)=xy ist das natürlich noch kein Problem. Aber im Falle F(x,y)=x²+y²+1 würde diese Ableitung ja 2y, x taucht nicht mehr auf.
Wie sollte man also (im allgemeinen) den Defintionsbereich von y bestimmen?

mfg,
Ché Netzer

#2

Hi,

dann klebe nicht zu dicht am IFT, sondern behandle die Frage wörtlich:

Für welche x gibt es ein y? Wenn F(x,y)=0 nach y lösbar ist.

Für welche x gibt es ein y’? Wenn F nach y lösbar und die Ableitung von F nach y in (x,y) existiert und invertierbar ist.

Gruß Lutz

#3

Dann suche ich also alle passenden x heraus und bestimme Fy(x,y) an den Stellen (x,y(x)), mit vorher bestimmtem x.
Aber müsste ich dazu nicht y(x) explizit bestimmen?
Ansonsten kann ich ja nicht wissen, ob etwas wie Fy(x,y)=x-y(x) doch 0 ist.

mfg,
Ché Netzer

#4

Betrachte ganz abstrakt die Lösungsmenge {(x,y): F(x,y)=0} und deren Projektion auf die x-Anteil. Die Fasern dieser Projektion und die Punkte darin mit korrekter Jacobi-Matrix sind wohl gesucht.

Oder wie Du schon sagtest, die Aufgabenstellung ist sehr schief gelaufen.

Gruß Lutz

#5

Naja, ich werde mir einfach rein logisch überlegen, für welche x es ein eindeutiges y gibt und diese Menge angeben…
Auf den Beweis zur Existenz von y’(x) verzichte ich dann lieber.

mfg,
Che Netzer