Hallo!
Ich habe eine Frage zum o.g. Hauptsatz!
Und zwar: Kann es sein, dass die Aussagen des Satzes richtig sind, wenn det(J_f (x°)) = 0 ???
Wenn ja, wann? Gibt es ein Beispiel?
Der Satz lautet:
Sei L Teilmenge von R^d offen, f sei eine stetig differenzierbare Abbildung von L nach R^d. Außerdem sei x° Element von L mit det(J_f (x°)) ungleich 0.
Dann gilt:
- Es existieren offene Umgebungen U von x° und V von y°:=f(x°) so, dass f/U:U–>V bijektiv ist (also f eingeschränkt auf U)
- Ist f^-1 = (f/U)^-1 : V–>U, so ist f^-1 eine stetig diff´bare Abbildung von V nach R^d und für y = f(x) Element V gilt:
Jacobimatrix von f^-1 (y) = [Jac.matrix von f(x)]^-1
Wäre über hilfreiche Links und jede Antwort sehr dankbar!
Vielen Dank.
Hallo Paula,
Ich habe eine Frage zum o.g. Hauptsatz!
Und zwar: Kann es sein, dass die Aussagen des Satzes richtig
sind, wenn det(J_f (x°)) = 0 ???
Nein, wenn die Determinante gleich Null ist, gilt der Satz nicht. Das ist das selbe wie bei einer Dimension: Ist die Ableitung einer Funktion an einer Stelle Null, dann gibt es für diese Stelle keine Umkehrfunktion.
Das sieht man aber auch schon hier:
-
Jacobimatrix von f^-1 (y) = [Jac.matrix von f(x)]^-1
Wenn det[Jac.matrix von f(x0)] = 0, gibt es ja gar kein [Jac.matrix von f(x)]^-1 !!
Gruß
Oliver
Danke Oliver.
Aber: Angeblich soll es doch Funktionen geben, für die die Aussagen gelten, ohne die Voraussetzung, dass det ungleich 0 ist.
Und zwar solche, deren Umkehrfunktion nicht diff´bar ist.
(zum Beispiel x^3 an der Stelle 0).
Leider verstehe ich das nicht so ganz.
Weißt Du eine Antwort darauf?
Vielen Dank!
Hallo Paula
Aber: Angeblich soll es doch Funktionen geben, für die die
Aussagen gelten, ohne die Voraussetzung, dass det ungleich 0
ist.
Und zwar solche, deren Umkehrfunktion nicht diff´bar ist.
Ah tut mir leid, ich hab den Satz nicht ganz durchgelesen. Also wenn du verlangst, dass die Umkehrfunktion diff’bar ist, dann muss
det J_f 0 sein.
Wenn du nur verlangst, dass es eine Umkehrfunktion gibt, dann muss die Funktion lediglich bijektiv sein.
Dann brauch man natürlich auch nicht so große Geschütze auffahren wie den Satz über die Umkehrfunktionen. Das Beispiel x³ hast du doch bereits selbst genannt.
Gruß
Oliver
Okay, vielen Dank Oliver.