Ist wohl ne Anfängerfrage:
Wenn ich eine Alternierende Reihe habe, kann ich dann zur Bestimmung, für welche x diese Reihe konvertgiert, das Quotienten oder Wurzelkriterium benutzen?
Wenn der limes davon kleiner 1 ist, konvert die Reihe ja absolut, dann müßte sie sich auch „einfach“ konvergieren…
Hmm,
Bin kein Mathematiker, aber - sind alternierende Reihen denn nicht per Definition schon divergent ? Steckt doch in dem Begriff „alternierend“ schon drin, oder (staun) ?
Gruss,
Jürgen
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Da blamier ich mich auch gleich mit *g*
Bin kein Mathematiker, aber - sind alternierende Reihen denn
nicht per Definition schon divergent ? Steckt doch in dem
Begriff „alternierend“ schon drin, oder (staun) ?Gruss,
Jürgen
Für den Fall, nämlich, daß das folgende hier gar keine alternierende Reihe ist. Falls aber doch, dann konvergiert sie hganz offensichtlich:
1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16…
Gruß,
Martin *dereigentlichschonfastallesvergessenhatwasermalinmathewußte*
Hallo!
Eine alternierende Reihe untersucht man mit dem Leibnizschen Konvergenzkriterium. Quotienten- bzw Wurzelkriterium greift da nicht mehr. Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge ihrer Glieder eine monoton fallende Nullfolge bilden.
D.h. die alternierende Reihe a1-a2+a3-a4… konvergiert, wenn
a1>a2>a3>a4…>a(n), und für n gegen Null a(n)=0 gilt.
Gruß
Michael
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Für den Fall, nämlich, daß das folgende hier gar keine
alternierende Reihe ist. Falls aber doch, dann konvergiert sie
hganz offensichtlich:1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16…
Das ist keine Reihe, sondern eine Folge.
Gruß
Martin
Nee Martin - ist keine Reihe. Eine Reihe bildet sich aus der SUMME der Elemente. Und da ist dann die Konvergenz schon nicht mehr so offensichtlich.
Der Bronstein sagt allerdings auch, dass alternierende Reihen konvergieren.
Im übrigen kann man die Konvergenz einer alternierenden Reihe mit der Absoluten Konvergenz der Reihe der Beträge ihrer Elemente nachweisen. Und für die Reihe der Beträge gelten wie gewöhnlich Majoranten-, Quotienten-, Wurzel- ,Integralkriterium und alle anderen Kriterien für Reihen mit rein positiven Elementen, die es vielleicht noch gibt.
Sorry für meine Zweifel.
Gruss,
Jürgen
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1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16…
Das ist keine Reihe, sondern eine Folge.
Hab´s doch gewußt, daß das in die Hose gehen muß… Aber wenn wir schon dabei sind: Wenn ich aus der Folge oben jetzt eine Reihe bastle, dann hätte ich doch eine alternierende Reihe, die dann laut wissen.de auch konvergent ist (oder habe ich das hier http://www.wissen.de/servlets/de.wissen.tm.TMWMServl… falsch verstanden?).
Gruß nochmal,
Martin *dersichjetztsicherendgültiginsfettnäpchenbegebenhat*
Meines Erachtens stimmt das so.
Wenn die Reihe der Beträge der Elemente konvergent ist, dann ist auch die alternierende Reihe konvergent.
MfG
Jürgen
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Hallo,
Wenn ich eine Alternierende Reihe habe, kann ich dann zur
Bestimmung, für welche x diese Reihe konvertgiert, das
Quotienten oder Wurzelkriterium benutzen?Wenn der limes davon kleiner 1 ist, konvert die Reihe ja
absolut, dann müßte sie sich auch „einfach“ konvergieren…
Eine alternierende Reihe untersucht man mit dem Leibnizschen
Konvergenzkriterium. Quotienten- bzw Wurzelkriterium greift da
nicht mehr. Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die
Beträge ihrer Glieder eine monoton fallende Nullfolge bilden.
Quotienten- oder Wurzelkriterium greifen schon noch. Wenn naemlich die Reihe der Absolutglieder eines der beiden Kriterien erfuellt, so konvergiert die alternierende Reihe erst recht, d.h. die Reihe ist absolut konvergent. Wenn beides nicht mehr greift, bleibt manchmal aber noch die ‚einfache‘ Konvergenz, die wie Du schreibst, mit dem von Dir unten angegebeben Leibnizkriterium untersucht werden kann.
D.h. die alternierende Reihe a1-a2+a3-a4… konvergiert, wenn
a1>a2>a3>a4…>a(n), und für n gegen Null a(n)=0
gilt.
Viele Gruesse
Ingo