Induktionsanfang: Du beweist die Aussage für das kleinste denkbare k (da über k induziert wird), dieses ist im Bereich der natürlichen Zahlen nun einmal 0.
Induktionsschritt: Du zeigst, dass daraus, dass die Aussage für k gilt, auch folgt, dass die Aussage für k+1 (=k*) gilt.
So kannst du dann sagen, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt, da aus den beiden Bedingungen folgende „Induktionsschlange“ entsteht: Aussage gilt für k=0->Aussage gilt für k*=1-> Aussage gilt für (k*)*=2->…
Also: du hast gezeigt, dass die Aussage für das erste k gilt; jetzt musst du zeigen, dass daraus aus folgt, dass die Aussage für k* gilt.
Dass die Aussage für k gilt, bedeutet, dass
n+k*=n*+k.
Jetzt müssen wir noch n+(k*)* so umformen, dass n*+k* herauskommt, wobei wir die Axiome und natürlich auch unsere Induktionsannahme n+k*=n*+k benutzen dürfen.
(n+k*)* WEGEN DER INDUKTIONSVORRAUSSETZUNG Pk (also nicht
wegen irgendeiner Definition der Addition, sonst würd das ja
wohl da stehen) auf (n*+k)*
Kurz: (n+k*)* = (n*+k)* kommt.
also wenn u = v ist, dann folgt daraus natürlich u* = v*.
Oder wenn g = h ist, ist klar, dass dann ((g*)*)* dasselbe ist wie ((h*)*)*.
Oder allgemein: Wenn x = y ist, dann ist evidenterweise F(x) = F(y) für jede beliebige Funktion F.
In Deinem Fall wurde die Richtigkeit von n + k* = n* + k als Induktionsvoraussetzung angenommen und dann muss natürlich auch (n + k*)* mit (n* + k)* übereinstimmen.
(Oder habe ich an Deiner Frage vorbei geantwortet…?)
Die Umforumg scheine ich richtig zu verstehen, weil du mir genau das sagst, was ich ja auch genau so sehe.
Wenn A=A ist dann muss A*=A* sein.
Die Umformung selber scheint mir nicht das Problem zu sein, sondern warum in den Klammern steht: „Wegen der Induktonsvorraussetzung“
Ich weiß nicht so recht, wie ich das verstehen soll. Bzw. was damit gemeint ist. Das muss ja irgendein Hinweis sein, für irgendwas, nur: für was? (denn die Umforumg ist ja offensichtlich richtig, wofür dann einen Hinweis geben?)
Denn das ist doch total offensichtlich, dass das so gelten muss.
das klingt so, als würdest du dein Vorwissen über die Addition bzw. deine Intuition verwenden. Das darfst du hier aber nicht; du beweist ja gerade eine Eigenschaft der Addition. Also musst du dich streng an die Definition oder schon bewiesene Zusammenhänge halten.
Vielleicht hilft es dir, wenn du überall das Pluszeichen durch ein anderes Zeichen (z.B. #) ersetzt, das keine Assoziationen weckt.
Wenn man beim Fundament von Mathe ist, sollte man sich immerim Klaren sein, dass vieles, was man eben schon weiß, eben beim Fundament noch gar nicht gegeben ist. Beim Schaukel-Lemma sind nur die Peano-Axiome und die Definition der Addition gegeben und sonst nichts.
