Schaukel-Lemma

Wissenschaft Mathematik
#1

Tachchen, :smiley:

http://www.matheplanet.com/default3.html?call=articl…

Dort ist auch das so genannte Schaukel-Lemma beschrieben.
Ich als nicht-Mathematiker versuche das nun zu verstehen.

Bei dem Schritt, wo ich hängen bleibe ist, wo steht:

„Wegen Induktionsvorraussetzung Pk“

n+(k*)* = (n+k*)* ist klar, denn das folgt ja so wie es auf der Page auch steht, aus der Definition der Addition.

Den nächsten Schritt verstehe ich aber nicht.

Ich verstehe nicht, wie man von:

(n+k*)* WEGEN DER INDUKTIONSVORRAUSSETZUNG Pk (also nicht wegen irgendeiner Definition der Addition, sonst würd das ja wohl da stehen) auf (n*+k)*

Kurz: (n+k*)* = (n*+k)* kommt.

Ich will wissen, was der Grund ist, warum man das so umformt und vor allem, warum man das darf.

Danke :wink:

#2

moin;

das ist das Prinzip der vollständigen Induktion.

  1. Induktionsanfang: Du beweist die Aussage für das kleinste denkbare k (da über k induziert wird), dieses ist im Bereich der natürlichen Zahlen nun einmal 0.

  2. Induktionsschritt: Du zeigst, dass daraus, dass die Aussage für k gilt, auch folgt, dass die Aussage für k+1 (=k*) gilt.

So kannst du dann sagen, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt, da aus den beiden Bedingungen folgende „Induktionsschlange“ entsteht: Aussage gilt für k=0->Aussage gilt für k*=1-> Aussage gilt für (k*)*=2->…

Also: du hast gezeigt, dass die Aussage für das erste k gilt; jetzt musst du zeigen, dass daraus aus folgt, dass die Aussage für k* gilt.

Dass die Aussage für k gilt, bedeutet, dass
n+k*=n*+k.

Jetzt müssen wir noch n+(k*)* so umformen, dass n*+k* herauskommt, wobei wir die Axiome und natürlich auch unsere Induktionsannahme n+k*=n*+k benutzen dürfen.

mfG

#3

Hallo,

Ich verstehe nicht, wie man von:

(n+k*)* WEGEN DER INDUKTIONSVORRAUSSETZUNG Pk (also nicht
wegen irgendeiner Definition der Addition, sonst würd das ja
wohl da stehen) auf (n*+k)*

Kurz: (n+k*)* = (n*+k)* kommt.

also wenn u = v ist, dann folgt daraus natürlich u* = v*.

Oder wenn g = h ist, ist klar, dass dann ((g*)*)* dasselbe ist wie ((h*)*)*.

Oder allgemein: Wenn x = y ist, dann ist evidenterweise F(x) = F(y) für jede beliebige Funktion F.

In Deinem Fall wurde die Richtigkeit von n + k* = n* + k als Induktionsvoraussetzung angenommen und dann muss natürlich auch (n + k*)* mit (n* + k)* übereinstimmen.

(Oder habe ich an Deiner Frage vorbei geantwortet…?)

Gruß
Martin

#4

Hi Martin,

So halb-halb :smile:

Die Umforumg scheine ich richtig zu verstehen, weil du mir genau das sagst, was ich ja auch genau so sehe.

Wenn A=A ist dann muss A*=A* sein.

Die Umformung selber scheint mir nicht das Problem zu sein, sondern warum in den Klammern steht: „Wegen der Induktonsvorraussetzung“

Ich weiß nicht so recht, wie ich das verstehen soll. Bzw. was damit gemeint ist. Das muss ja irgendein Hinweis sein, für irgendwas, nur: für was? (denn die Umforumg ist ja offensichtlich richtig, wofür dann einen Hinweis geben?)

#5

Problemfixierung
Ich hab mein Problem nun fixiert ha!

Was ich nicht verstehe ist, warum man nicht DIREKT von…zu…:

n+(k*)* = (n*+k)* umformt. Denn das ist doch total offensichtlich, dass das so gelten muss.

Warum wird zuerst mit Hilfe der Definierung der Addition n+(k*)* in (n+k*)* umgeformt? Wozu? Ist das nicht völlig redundant?

#6

Was ich nicht verstehe ist, warum man nicht DIREKT von…zu…:

n+(k*)* = (n*+k)* umformt.

Dann zeig Deine „direkte Umformung“ bitte mal hier.

Denn das ist doch total offensichtlich, dass das so gelten muss.

Offensichtlich? Inwiefern? Ich finde es ganz und gar nicht offensichtlich, warum n + (k*)* dasselbe sein soll wie (n* + k)*. Klär mich auf :smile:

#7

Hallo,

Denn das ist doch total offensichtlich, dass das so gelten muss.

das klingt so, als würdest du dein Vorwissen über die Addition bzw. deine Intuition verwenden. Das darfst du hier aber nicht; du beweist ja gerade eine Eigenschaft der Addition. Also musst du dich streng an die Definition oder schon bewiesene Zusammenhänge halten.

Vielleicht hilft es dir, wenn du überall das Pluszeichen durch ein anderes Zeichen (z.B. #) ersetzt, das keine Assoziationen weckt.

Viele Grüße,

Andreas

#8

Nun ja:

Das ergibt sich für mich sofort aus dem Induktionsschluss.

Wobei ich aber auch merke, dass das, was ich vorhabe ziemlich folgerungslos ist:

n+k* = n*+k und warum jetzt eigentlich nicht hergehen und direkt:

n+(k*)* = n*+k* behaupten? uh. Jetzt behaupte ich was. Also so einfach kanns ja irgendwie nicht gehen. Ich kann das nicht mit sich selber beweisen.

Das wäre ja so als würde ich sagen 5=3 ist 5=3 weil 5=3 ist.

Wobei wir dann jetzt direkt wieder bei der Umformung wären:

n+(k*)* = (n+k*)* okay das ist klar.

Wenn man sich nun die rechte Seite von Pk anschaut: n*+k

Dann ist ja klar, dass

(n+k*)* = (n*+k)* sein muss.

Okay.

Das wars dann wohl.

#9

Du hast es verstanden :smile:

Andreas hat auch noch einen wichtigen Aspekt angesprochen und was er schreibt ist sehr richtig – mit bester Drüber-Nachdenk-Empfehlung von mir :smile:

Hab ein schönes Osterfest.

Martin

#10

Vielen Dank dir auch.

Den Rat von Andreas habe ich auch schon beherzigt :smile:

Wenn man beim Fundament von Mathe ist, sollte man sich immerim Klaren sein, dass vieles, was man eben schon weiß, eben beim Fundament noch gar nicht gegeben ist. Beim Schaukel-Lemma sind nur die Peano-Axiome und die Definition der Addition gegeben und sonst nichts.

Und damit muss man dann arbeiten.