Hallo
Man soll rechnerisch beweisen, dass ganzrationale Funktionen 3. Ordnung nur einen Scheitelpunkt haben können.
Das war heute im Matheunterricht. Aber irgendwie hab ich das ganze keinen Deut kapiert. Sogar mit Aufschrieb.
Kann mir das bitte jemand verständlich erklären.
Danke
Apoth
Hallo,
Was macht ihr denn so gerade in Mathe?
Genau: Ableitungen.
Und was braucht man, um einen Scheitelpunkt einer Funktion zu berechnen?
Ok, nimm eine allgemeine ganzrationale Funktion (ax³+bx²+cx+d) und berechne den oder die Scheitelpunkte. Das ist doch alles. Du bekommst genau EINE Lösung (für a ungleich 0).
Nebenbei: Wenn du jetzt eine - sagen wir - Parabel nimmst: Warum kannst du von dieser Parabel keinen Scheitelpunkt berechnen? Wenn du ein Polynom 4. Ordnung hast, wieso kannst du dann auch 2 Scheitelpunkte bekommen?
LG
Jochen
hi,
Man soll rechnerisch beweisen, dass ganzrationale Funktionen
3. Ordnung nur einen Scheitelpunkt haben können.
das wird schwierig, weils nicht stimmt.
kurven 3. ordnung haben im normalfall (?) 2 scheitelpunkte, einen hochpunkt und einen tiefpunkt. wenn du die ableitung bildest und gleich 0 setzt (tangente also waagrecht, anstieg = 0, wie das bei scheitelpunkten üblich ist), bekommst du eine quadratische gleichung, die 2 lösungen (= 2 scheitelpunkte), 1 lösung (= 1 sog. „sattelpunkt“) oder keine lösung (keine scheitelpunkte für die kurve) haben kann.
(kurven 3. ordnung haben das aussehen einer „welle“; diese welle kann so wenig ausgeprägt, so „verflacht“ sein, dass sich tatsächlich nirgends eine waagrechte tangente legen lässt.)
kurven 3. ordnung haben aber ganz sicher exakt einen wendepunkt, an dem sich die krümmung ändert. dazu musst du 2 mal ableiten und die 2. ableitung gleich 0 setzen. du bekommst dann eine lineare gleichung, die garantiert eine lösung hat.
hth
m.
Könnte sein, dass die Begriffe bei mir im Unterricht anders sind.
Wenn du mit Scheitelpunkt Punkte meinst, bei denen die Ableitung an der Stelle den Wert 0 hat(also ein Tal oder eine Hügelkuppe im Graf) dann kenn ich das als Extrempunkt, zu unterscheiden in Hoch- und Tiefpunkte.
Das wär aber schon geil, wenn ich meinem Mathelehrer nachweisen könnte, dass das, was er uns da beigebracht hat, falsch wäre.
Aber wahrscheinlich doch nur ein Missverständniss.
mfg
Apoth
Könnte sein, dass die Begriffe bei mir im Unterricht anders
sind.
Wenn du mit Scheitelpunkt Punkte meinst, bei denen die
Ableitung an der Stelle den Wert 0 hat(also ein Tal oder eine
Hügelkuppe im Graf) dann kenn ich das als Extrempunkt, zu
unterscheiden in Hoch- und Tiefpunkte.Das wär aber schon geil, wenn ich meinem Mathelehrer
nachweisen könnte, dass das, was er uns da beigebracht hat,
falsch wäre.
Aber wahrscheinlich doch nur ein Missverständniss.
schau im internet nach … scheitelpunkte sind überall nur die hoch- und tiefpunkte. und eine parabel 3. ordnung hat bis zu 2 davon; jedenfalls nicht unbedingt einen.
„wendepunkte“ als „scheitelpunkte“ zu bezeichnen ist ein fehler; oder jedenfalls eine „persönliche begriffsbildung im gegensatz zu 6 milliarden anderen begriffsbildungen“ oderso. entweder hat ers falsch gesagt oder du hast es falsch mitgeschrieben. was haben denn die anderen mitgeschrieben?
m.
http://de.wikipedia.org/wiki/Extrempunkt#Extrempunkte
???
Der Begriff „seltsam“ hängt vom Betrachter ab.
http://de.wikipedia.org/wiki/Extrempunkt#Extrempunkte
???
Der Begriff „seltsam“ hängt vom Betrachter ab.
von „seltsam“ hab ich nix geschrieben.
jedenfalls nennt der zitierte wikipedia-artikel (es ist übrigens der zu „kurvendiskussion“) den begriff „scheitelpunkt“ überhaupt nicht. dieser ist auch sonst nicht so üblich wie „extrempunkt“, aber wenn er verwendet wird, dann in der bedeutung von „extrempunkt“. da gibts zahllose belege dazu, auch in der wikipedia selbst, schau im artikel „Scheitelpunkt“.
definitiv: eine kurve 3. ordnung hat nie nur einen scheitelpunkt. es gibt kurven 3. ordnung, die nur einen punkt mit f’ = 0 haben, dann ist das aber weder hoch- noch tief- noch scheitelpunkt, sondern ein sattelpunkt. (z.b. bei y=x^3 der punkt (0,0).)
m.
Gut. In dem Fall eben den Sattelpunkt. Wie beweise ich, dass eine ganzrat. Funk. 3. Ordnung nur einen Sattelpunkt haben kann.
Hallo,
ganz einfach: die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3.Grades ist f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Erste Ableitung: f’(x)=3ax²+2bx+c.
Zweite Ableitung: f’’(x)=6ax+b
Dritte Ableitung: f’’‚©=6a.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f‘’(x)=0. f’’ ist eine lineare Funktion, die kann nur eine Nullstelle haben (die sie auch tatsächlich hat, denn sonst müsste ja a=0 sein.)
Weil f’’’ wegen a ungleich 0 sicher nie 0 ist, ist die Nullstelle von f’’ immer eine Wendestelle. Damit ist bewiesen, dass jede ganzrationale Funktion 3.Grades genau einen Wendepunkt hat, also kann sie nicht mehr als einen Sattelpunkt haben.