Hallo!
Aufgabe: x ~> 2x²+2x-4
Lösung: S(-0,5/-4,5)
Ich wollte mal fragen, wie ich an diese Lösung komme.
Wenn ich den Graphen zeichne, dann bekomme ich auch diesen Scheitelpunkt. Nur wenn ich es versuche auszurechnen komm ich nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen!?!
Vielen Dank schonmal…
Jasmin
hi,
das ganze geht mit dem Prinzip der „quadratischen Ergänzung“. Wir haben unsere Funktion y=2x²+2x-4 und wollen diese auf eine Form bringen in der wir die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen können.
Das ist dann der Fall wenn die Funktion auf folgende Form gebracht haben: c*(x + a )² + b. Der Scheitelpunkt wäre dann S(-a/b). (x + a)² = x² + 2xa + a² wegen der ersten binomischem Formel. Wenn wir nun in deiner Funktion die 2 ausklammern, haben wir 2*(x² + x - 2) und aus x² + x lässt sich eine binomische Formel „basteln“, in dem wir zu der Formel 0,25 addieren und gleich wieder abziehen. Wir haben dann also stehen:
2*(x² + x + 0,25 -0,25 -2) Wir haben die Gleichung eigentlich gar nicht verändert, weil ja 0,25 - 0,25 = 0 ist. Was wir aber jetzt machen können ist
x² + x 0,25 zu (x + 0,5)² zusammenzufasen (das ist die erste binomische Formel nur rücktwärts angewendet). Wir haben dann also 2*((x + 0,5)²-2,25). Nun multiplizieren wir die vorher ausgeklammerte 2 wieder ein und erhalten 2(x + 0,5)² - 4,5. Die 2 Vor der Klammer wirkt sich nur darauf aus, wie sehr sich die Parabel öffnet, ist also für die Koordinaten des Scheitels uninteressant. Die Koordinaten lassen sich also einfach ablesen:
S(-0,5 / - 4,5) und das kommt ja auch bei dir raus. Das funktioniert aber nur bei Gleichungen in denen x² also höchste Potenz von x vorkommt. Also funktioniert die Formel z.B. für x³ + 2x² + 2x -4 nicht.
Gruss,
Timo