Schildkröte

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo Rätselfreunde!
Habe im Vorkurs Mathematik an der Uni folgende Aufgabe bekommen:
Eine Schildkröte sitz auf dem einen Ende eines beliebig dehnbaren Gummibandes von 10m Länge und möchte zum anderen Ende kriechen. Sie schafft jeden Tag genau einen Meter, aber jede Nacht, wenn die Schildkröte auf dem Band ruht, wird gemeinerweise das Gummiband gleichmäßig um genau 10m gedehnt. Wird die Schildkröte trotzdem das andere Ende erreichen?

Gruß McFly

PS:Wenn es geht, die Lösung bitte mit Lösungsweg (soll mit ner geometrischen Reihe funktionieren)

#2

Die Schildkröte erreicht das andere Ende!

Dazu musst du die Länge des Gummibandes auf beiden Seiten der Schildkröte angeben

  1. Tag 6 Meter links 4 Meter rechts (Schildkröte kriecht nach rechts)
  2. Nacht 12 ml 8 mr (Das Gummiband dehnt sich gleichmässig)
  3. Tag 13ml 7mr
  4. Nacht 19,5ml 10,5mr
  5. Tag 20,5ml 9,5mr
  6. Nacht 27,3ml 12,7mr
  7. Tag 28,3ml 11,7mr
  8. Nacht 35,417ml 14,583 mr
  9. Tag 36,417ml 13,583mr

Das lässt sich so oft fortsetzen, bis das Gummiband auf der rechten Seite sich um weniger als 1 Meter dehnt.

#3

Hi,

das verstehe ich aus 2 Gründen nicht, erstens werden die Werte tendenziell immer größer - können also 1 nie erreichen, zweitens sitzt die Kröte am ersten Tag am Rand und nicht wie bei Dir in der Mitte.

Gruß,
Micha

#4

Wird die Schildkröte trotzdem das andere Ende erreichen?

Gruß McFly

PS:Wenn es geht, die Lösung bitte mit Lösungsweg (soll mit ner
geometrischen Reihe funktionieren)

Nachdem ich zunächst ziemlichen Mist geschrieben habe, nun die richtige Lösung:

Anstelle der tatsächlichen Position und Geschwindigkeit rechne ich mit der relativen Position und Geschwindigkeit der Schildkröte, welche ich mittles Division durch die Länge des Gummibandes erhalte. Der Anteil an der aktuellen Gesamtstrecke, den die Schildkröte täglich zurücklegt beträgt dann

dx(n) = 1/(n*10)

wobei n die Nummer des Tages ist. Am ersten Tag legt die Schildkröte also 1/10 der Gesamtsrecke zurück, am zweiten Tag 1/20, am dritten 1/30 usw. Die relative Gesamtstrecke ist dann natürlich die Summe dieser Teilstrecken. Das ist allerdings keine geometrische Reihe. Das wäre z.B. dann der Fall, wenn das Gummiband jede nacht auf die Doppelte Länge gedehnt werden würde. Die von uns gesuchte Summenfolge lautet

x(n) = 1/10*Sum(1/n)

Erreicht die Schildkröte das Ende des bandes, dann gilt x(n)=1. Es ist mir zwar nicht gelungen, das Ganze expliziz nach n aufzulösen, aber auf numerischem Wege erhalte ich eine „Reisezeit“ von 12367 Tagen.

PS: Wenn die Bewegung der Schildkröte und die Dehnung des Bandes gleichzeitig erfolgen würden, dann wäre die Sache übrigens etwas einfacher (und explizit lösbar).

#5

Hi,

die Schildkröte steht bei:
n=0: 0
n=1: 2 = 1+1/1
n=2: 4,5 = (2+1/2)(1+1/1) + (2+1/1)
n=3: 7,3333333 = (3+1/3)(2+1/2)(1+1/1) + (3+1/3)(2+1/1)+3+1/3
.
.
.
n=N: Sum{i=1,N}Prod{j=i,N}j+1/j
Das Produkt küzt sich zu N+1/i
also bleibt:
n=N: Sum{i=1,N} N+1/i= (N+1)*Sum{i=1,N} 1/i
Die Summe ist nicht die geometrische, sondern die harmonische Reihe. Diese konvergiert nicht, sondern wächst über alle Grenzen. Die Schildkröte erreicht also das Ende des Bandes.
Das Band ist nach N Schritten: (N+1)*10 lang.
Also:
10*(N+1) = (N+1)*Sum{i=1,N} 1/i
oder
Sum{i=1,N} 1/i = 10

dies ist, wie MrStupid schon gerechnet hat, nach 12367 Schritten der Fall.

Max

P.S.

wie willst Du eigentlich das Studium schaffen, wenn Du schon im Vorkurs die Übungen nicht selbst machst?

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#6

OT: Sann müßte ja …

„Reisezeit“ von 12367 Tagen.

… die Schildkröte, die am 1.12.1967 losgetobt ist ja Ende des Monats das Ziel erreichen :smile:

Saudumm, ich weiß aber ich konnt mich nicht bremsen!
Eckard.

#7

wie willst Du eigentlich das Studium schaffen, wenn Du schon
im Vorkurs die Übungen nicht selbst machst?

Keine Angst! Ich werd das schon schaffen, hab mich mit der Aufgabe noch nicht beschäftigt. Und wenn ich die Lösung hinschreibe, dann geb ich die bestimmt nicht als meine eigene aus!

Gruß McFly

*derFLYssige* :wink:

#8

nöööööö
weil auch Schildkröten ein Recht auf Urlaub haben ;o))

#9

Hallllllooooo!!!
habt ihr denn alle keine Ahnung???
Schildkröten schlafen Nachts doch gar nicht,
sondern tagsüber:smile:

#10

Hallllllooooo!!!
habt ihr denn alle keine Ahnung???
Schildkröten schlafen Nachts doch gar nicht,
sondern tagsüber:smile:

Wollen wir das im Tierbrett diskutieren ? :smile:

#11

Jetzt sag mir doch bitte jemand mal, wie die Schildkroete denn je das Ende des Bandes erreichen soll?!
Falls es in der Mathematik wirklich gehen sollte, dann hat die Mathematik aber nicht gerade viel mit der Relalitaet zu tun! Ok, es gibt kein Gummiband, das sich unendlich dehnt. Aber selbst wenn, dann wuerde die Schildkroete pro Tag 9m weiter weg von ihrem Ziel geraten - wie soll sie denn dann je ankommen???
Klaert mich doch bitte auf,
Isabel

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#12

Jetzt sag mir doch bitte jemand mal, wie die Schildkroete denn
je das Ende des Bandes erreichen soll?!
Falls es in der Mathematik wirklich gehen sollte, dann hat die
Mathematik aber nicht gerade viel mit der Relalitaet zu tun!
Ok, es gibt kein Gummiband, das sich unendlich dehnt. Aber
selbst wenn, dann wuerde die Schildkroete pro Tag 9m weiter
weg von ihrem Ziel geraten - wie soll sie denn dann je
ankommen???
Klaert mich doch bitte auf,
Isabel

Hallo Isabel!

Ist ja nur ein Gedankenspiel…aber das mit den 9m, da haste einen Denkfehler: Das Gummiband dehnt sich schon realistisch, d.h. es dehnt sich auf beiden Seiten der Schildkröte.

Gruß
McFly