Hallo Rätselfreunde!
Habe im Vorkurs Mathematik an der Uni folgende Aufgabe bekommen:
Eine Schildkröte sitz auf dem einen Ende eines beliebig dehnbaren Gummibandes von 10m Länge und möchte zum anderen Ende kriechen. Sie schafft jeden Tag genau einen Meter, aber jede Nacht, wenn die Schildkröte auf dem Band ruht, wird gemeinerweise das Gummiband gleichmäßig um genau 10m gedehnt. Wird die Schildkröte trotzdem das andere Ende erreichen?
Gruß McFly
PS:Wenn es geht, die Lösung bitte mit Lösungsweg (soll mit ner geometrischen Reihe funktionieren)
das verstehe ich aus 2 Gründen nicht, erstens werden die Werte tendenziell immer größer - können also 1 nie erreichen, zweitens sitzt die Kröte am ersten Tag am Rand und nicht wie bei Dir in der Mitte.
Wird die Schildkröte trotzdem das andere Ende erreichen?
Gruß McFly
PS:Wenn es geht, die Lösung bitte mit Lösungsweg (soll mit ner
geometrischen Reihe funktionieren)
Nachdem ich zunächst ziemlichen Mist geschrieben habe, nun die richtige Lösung:
Anstelle der tatsächlichen Position und Geschwindigkeit rechne ich mit der relativen Position und Geschwindigkeit der Schildkröte, welche ich mittles Division durch die Länge des Gummibandes erhalte. Der Anteil an der aktuellen Gesamtstrecke, den die Schildkröte täglich zurücklegt beträgt dann
dx(n) = 1/(n*10)
wobei n die Nummer des Tages ist. Am ersten Tag legt die Schildkröte also 1/10 der Gesamtsrecke zurück, am zweiten Tag 1/20, am dritten 1/30 usw. Die relative Gesamtstrecke ist dann natürlich die Summe dieser Teilstrecken. Das ist allerdings keine geometrische Reihe. Das wäre z.B. dann der Fall, wenn das Gummiband jede nacht auf die Doppelte Länge gedehnt werden würde. Die von uns gesuchte Summenfolge lautet
x(n) = 1/10*Sum(1/n)
Erreicht die Schildkröte das Ende des bandes, dann gilt x(n)=1. Es ist mir zwar nicht gelungen, das Ganze expliziz nach n aufzulösen, aber auf numerischem Wege erhalte ich eine „Reisezeit“ von 12367 Tagen.
PS: Wenn die Bewegung der Schildkröte und die Dehnung des Bandes gleichzeitig erfolgen würden, dann wäre die Sache übrigens etwas einfacher (und explizit lösbar).
die Schildkröte steht bei:
n=0: 0
n=1: 2 = 1+1/1
n=2: 4,5 = (2+1/2)(1+1/1) + (2+1/1)
n=3: 7,3333333 = (3+1/3)(2+1/2)(1+1/1) + (3+1/3)(2+1/1)+3+1/3
.
.
.
n=N: Sum{i=1,N}Prod{j=i,N}j+1/j
Das Produkt küzt sich zu N+1/i
also bleibt:
n=N: Sum{i=1,N} N+1/i= (N+1)*Sum{i=1,N} 1/i
Die Summe ist nicht die geometrische, sondern die harmonische Reihe. Diese konvergiert nicht, sondern wächst über alle Grenzen. Die Schildkröte erreicht also das Ende des Bandes.
Das Band ist nach N Schritten: (N+1)*10 lang.
Also:
10*(N+1) = (N+1)*Sum{i=1,N} 1/i
oder
Sum{i=1,N} 1/i = 10
dies ist, wie MrStupid schon gerechnet hat, nach 12367 Schritten der Fall.
Max
P.S.
wie willst Du eigentlich das Studium schaffen, wenn Du schon im Vorkurs die Übungen nicht selbst machst?
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wie willst Du eigentlich das Studium schaffen, wenn Du schon
im Vorkurs die Übungen nicht selbst machst?
Keine Angst! Ich werd das schon schaffen, hab mich mit der Aufgabe noch nicht beschäftigt. Und wenn ich die Lösung hinschreibe, dann geb ich die bestimmt nicht als meine eigene aus!
Jetzt sag mir doch bitte jemand mal, wie die Schildkroete denn je das Ende des Bandes erreichen soll?!
Falls es in der Mathematik wirklich gehen sollte, dann hat die Mathematik aber nicht gerade viel mit der Relalitaet zu tun! Ok, es gibt kein Gummiband, das sich unendlich dehnt. Aber selbst wenn, dann wuerde die Schildkroete pro Tag 9m weiter weg von ihrem Ziel geraten - wie soll sie denn dann je ankommen???
Klaert mich doch bitte auf,
Isabel
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Jetzt sag mir doch bitte jemand mal, wie die Schildkroete denn
je das Ende des Bandes erreichen soll?!
Falls es in der Mathematik wirklich gehen sollte, dann hat die
Mathematik aber nicht gerade viel mit der Relalitaet zu tun!
Ok, es gibt kein Gummiband, das sich unendlich dehnt. Aber
selbst wenn, dann wuerde die Schildkroete pro Tag 9m weiter
weg von ihrem Ziel geraten - wie soll sie denn dann je
ankommen???
Klaert mich doch bitte auf,
Isabel
Hallo Isabel!
Ist ja nur ein Gedankenspiel…aber das mit den 9m, da haste einen Denkfehler: Das Gummiband dehnt sich schon realistisch, d.h. es dehnt sich auf beiden Seiten der Schildkröte.
