Hallo Maja,
dazu gibt es m. E. keine eindeutige Antwort aber ich versuche mal das etwas zu erklären:
Sollte die Ursache eindeutig auf das Bauwerk zurückzuführen sein und in keinster Weise den Mieter ein Verschulden treffen (was im Allgemeinen zwar sehr selten der Fall ist), so gelten folgende Gedanken: Du hast eine Wohnung in einem älteren Bauwerk angemietet, dadurch eine günstigere Miete erhalten und solltest Dir eigentlich der Gefahr von Schimmelbefall bewusst sein. Also ist eine gewisse Vorsicht und Beobachtung und Bekämpfung zu erwarten um einen möglichen Schaden rechtzeitig abzuwenden. Schimmel kommt ja nicht von heute auf morgen sondern ist ein schleichender Prozess. Anders ist es, wenn in einem älteren Bauwerk neue Fenster eingebaut wurden und die bisherige Schimmelgefahr nicht bestand aber nun durch die dichten Fenster kein Lufaustausch mehr vorhanden ist und plötzlich Schimmel auftritt. Hier ist aber durch richtiges Heizen und Lüften Abhilfe zu schaffen. In den seltensten Fällen und eigentlich nur dann ist Schimmel Vermietersache, handelt es sich um einen Baufehler, wenn z. B. Kältebrücken eingebaut sind und der Schimmelbefall eigentlich gar nicht bekämpft werden kann. Nur in diesen Fällen hat der Vermieter die Pflicht zur baulichen Veränderung. Hier sind aber dann auch übliche Fristen von einigen Monaten zur Beseitigung einzuräumen. Erst wenn der Vermieter über einen längeren Zeitraum und trotz mehrmaliger Fristsetzung nicht reagiert, ist Mietminderung gerechtfertigt. Ob die Kosten für die beschädigten Möbel dann auch noch zu holen sind ist eher nicht eindeutig. Man kann hier eine Forderung anmelden oder mit dem Vermieter einen Vergleich versuchen aber bei Gegenwehr des Vermieters wäre ich sehr vorsichtig, diese im Zuge eines Rechtsstreits und nur so wäre das zu lösen, einzufordern.
Ich hoffe, Dir ein wenig geholfen zu haben auch wenn die Aussage sicher nicht nach Deinem Geschmack aber nach meiner Erfahrung sehr realistisch ist.
Alles Gute wünscht
Hubert