Hi @ all!
Wir machen in Mathe momentan Lagebeziehungen in der Ebene und ich verstehe überhaubt nicht, wie man den Schnittpunkt und den Schnittwinkel berechnet, ich weiß nur das man beim Schnittwinkel das Skalarprodukt verwendet. Es wäre ganz toll, wenn mir jemand an Beispielen den Rechenweg zeigen könnte!
LG Janine
Schnittpunkte sind gemeinsamme Punkte. Die Gleichung der einen und der anderen Form müssen erfüllt sein. Wenn man Ebenen betrachtet dann hast Du ein Gleichungssystem
E1: a1x+b1y+c1z-d1=0
E2: a2x+b2y+c2z-d2=0
Das sind 2 Gleichungen mit drei Unbekannten. Die kannst Du soweit es geht lösen. z.B.
x=\frac{\left( b2,c1-b1,c2\right) ,z+b1,d2-b2,d1}{a2,b1-a1,b2}
y=-\frac{\left( a2,c1-a1,c2\right) ,z+a1,d2-a2,d1}{a2,b1-a1,b2}
z = µ
ist dann der Laufparameter einer Geraden, wenn es einen echten Schnitt gibt. Es wäre ja denkbar, dass die Ebenen parallel oder identisch sind, was Du prüfen solltest.
Für den Schnittwinkel betrachtes Du die Normalenvektoren der Ebenen. Ich denke es gibt im Netz genügend Anlaufstellen, die alle Standardprobleme der analytsichen Geometrie ausführlich behandeln. Wer suchet, der findet…
Gruß HW
Moin,
das Skalarprodukt zweier Vektoren kann man so definieren: Es ist der Betrag des einen Vektors mal dem Betrag des anderen Vektors mal dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.
Außerdem gibt es noch diese Rechenvorschrift, wie man ein Skalarprodukt berechnet, wenn die Vektoren als Spalten gegeben sind. Diese Vorschrift habt Ihr bestimmt im Unterricht behandelt und geübt (Koordinaten zeilenweise multiplizieren und alles addieren). Wenn Du diese beiden Sachen nun gleichsetzt, hast Du eine Möglichkeit, den Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen.
Also: Wenn Du zwei Vektoren in Spaltenform gegeben hast, dann rechne das Skalarprodukt aus, teile es durch die beiden Beträge der Vektoren, und Du erhälst den Cosinus des eingeschlossenen Winkels. Dieses Grundprinzip musst Du dann auf die anderen Fälle anwenden.
Olaf
Hey Janine,
die Schnittpunkt-Berechnung läuft immer gleich ab, egal ob du in einem 2-dimensionalen Raum bist oder in einem n-dimensionalem.
Gleichsetzen -> LGS lösen -> Lösung interpretieren
Allerdings gibt es im 3-dimensionalem verschiedene Möglichkeiten eine Ebene zu definieren. Da solltest du am besten ausprobieren, mit welchem „Typ“ du Schnittpunkte am besten ausrechnest.
Ich habe dies immer folgendermaßen gemacht:
-Beide Ebenen in Parameterform:
Gleichsetzen und LGS lösen
-Beide Ebenen in Koordinatenform:
Eine Ebene in Parameterform umgeformt und dann ->
-Eine Ebene in Parameterform, die andere in Koordinatenform (Ist meines Erachtens nach die einfachste Variante):
Parameterform nach x1,x2 und x3 aufteilen und in Koordinatenform einsetzen…fertig.
Dies zur Schnittpunktberechnung.
Bei der Schnittwinkel-Berechnung gibt es nun auch wieder verschiedene Möglichkeiten (je nachdem ob und wie dir eine Ebene gegeben ist).
Die Grundformel dabei lautet:
\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\alpha,
Wenn also nach einem Winkel zwischen 2 Geraden gesucht ist, setzt du die beiden Richtungsvektoren ein und löst nach \alpha auf.
Bei einer Ebene und einer Geraden muss man ein wenig umdenken - man berechnet nämlich den Winkel mit Hilfe des Normalenvektors. Wichtig dabei ist, dass man dann nicht \cos\alpha, sondern \sin\alpha, nimmt.
Erklärung: Mit dem Kosinus würdest du den Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade ausrechnen - du suchst aber den Winkel zwischen Ebene und Gerade. Also müsstest du dein Ergebnis von 90° abziehen…oder einfach den Sinus nehmen 
Ebene und Ebene ist wieder relativ einfach, wenn man sich überlegt, dass die Normalenvektoren sich unter genau dem gleichen Winkel schneiden wie die Ebenen, d.h. Normalenvektoren in die Formel oben einsetzen und fertig.
Ich hoffe ich konnte helfen…mein erster Beitrag und er wurde gleich so lang 
Gruß René