Hallo zusammen,
ich versuche zu berechnen, ab welchem b (Abstand des Punktes P, der ausßerhalb des Kreises liegt) eine Zykloide sich selbst schneidet.
D.h. ich gehe von der Parameterdarstellung aus, mit
x = at - b sin t
y = a - b cos t
Leider komme ich mit der Fragestellung „Schnittpunkt mit sich selbst“ nicht weiter.
Für Ideen oder Ansätze wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
Hallo zusammen,
ich versuche zu berechnen, ab welchem b (Abstand des Punktes
P, der ausßerhalb des Kreises liegt) eine Zykloide sich selbst
schneidet.D.h. ich gehe von der Parameterdarstellung aus, mit
x = at - b sin t
y = a - b cos t
Hallo !
Ich denke eine Zykloide schneidet sich immer selbst sobald der Punkt außerhalb des Kreises liegt.
Um den Schnittpunkt zu berechnen gehst du von zwei verschiedenen Zeitpunkten t und v aus, bei denen beide Koordinaten übereinstimmen, also
at-bsin(t)=av-bsin(v)
a-bcos(t)=a-bcos(v)
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass v=t+2kπ oder v=-t+2kπ mit einer ganzen Zahl k.
Wäre v=t+2kπ, dann wäre sin(v)=sin(t) und mit der ersten Gleichung würde dann folgen, dass t=v. Damit wären die Zeitpunkte aber nicht verschieden, diese Möglichkeit scheidet also aus.
Damit muss v=-t+2kπ sein. Das bedeutet sin(v)=-sin(t) und das in die erste Gleichung eingesetzt ergibt
(b/a)sin(t)-t=kπ
Wenn k jetzt die ganzen Zahlen durchläuft erhälst du mit dieser Gleichung die t-Werte der Schnittpunkte.
Gruß
hendrik
Herzlichen Dank für die Bemühungen, das hilft schon mal weiter.
Eine Unklarheit hat sich aber noch für mich aufgetan:
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass v=t+2kπ oder v=-t+2kπ
mit einer ganzen Zahl k.
Das kann ich leider nicht aus der zweiten Gleichung folgern, bitte noch eine zusätzliche Erklärung.
Danke sehr, Gruß
Gernot
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass v=t+2kπ oder v=-t+2kπ
mit einer ganzen Zahl k.Das kann ich leider nicht aus der zweiten Gleichung folgern,
bitte noch eine zusätzliche Erklärung.
Du hast ja die Gleichung a-bcos(t)=a-bcos(v).
Daraus folgt cos(t)=cos(v).
Und daraus folgt v=t+2kπ oder v=-t+2kπ.
Dazu schaust du dir am besten den Einheitskreis an. Zu jedem Punkt auf dem Kreis hat der Punkt mit dem negativen Bogenmaß dieses Punktes (also an der x-Achse gespiegelt) den gleichen cos-Wert. Und jeder Punkt mit Abstand 2kπ hat natürlich auch den gleichen cos-Wert.
Ich hoffe das war verständlich.
Gruß
hendrik
Herzlichen Dank, alles klar.