Nene du. x^1/4 ist nicht sqrt(2), sondern sqrt(sqrt(2)).
f(0) = (4-0^4)^1/4 = 4^1/4 = (2^2)^1/4 = 2^2/4 = 2^1/2= sqrt (2).
Ich darf im Exponenten kürzen, weil die Basis positiv ist.
die n.te Wurzel ist nur nicht-negativ, wenn n eine gerade Zahl
ist.
Auch falsch, guck mal z.B. http://www.mathe-online.at/lernpfade/anaws2/?kapitel=2
Ich zitiere daraus: „Hier die exakte mathematische Definition:
Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist jene nichtnegative Zahl b, deren n-te Potenz gleich a ist.“
Das ist halt nun mal so. Wurzeln sind per definitionem nichtnegative Zahlen.
Gruß Orchidee
Ahu? Wo kommt der dritte denn nun her? Der taucht in der
Skizze aber auch nicht auf …
Hier nochmal die komplette Rechnung:
(4-x^4)^1/4 = (2-x^2)^1/2 (potenziere die Gleichung mit 4)
4-x^4 = (2-x^2)^2 (quadriere das Binom aus)
4-x^4 = 4-4x^2 + x^4 (alles auf die rechte Seite und zusammenfassen)
0 = 2x^4 - 4x^2 (2x^2 ausklammern)
0 = 2x^2(x^2-2) (ein Produkt ist gleich 0 wenn einer der Faktoren gleich 0 ist)
1.) 2x^2 = 0 folgt x = 0
2.) x^2 -2 = 0 folgt x= sqrt (2) und x = -sqrt(2)
die beiden letzten Lösungen liegen am Rand des Definitionsbereichs beider Funktionen, gehören aber dazu.
Alles klar?
Gruß orchidee
Stimmt. Aber beim Zeichnen kommt im negativen Bereich dennoch
nichts raus …
ja, weil du deine Gleichung falsch aufgelöst hast.
Wenn deine Ausgangsgleichung y^4+x^4=4 bzw y^2+x^2=2 sind, und du diese nach y auflöst, dann bekommst du pro (impliziter Funktion) 2 explizite Funktionen.
Aus y^2+x^2=2 wird dann y1=sqrt(2-x^2) und y2=-sqrt(2-x^2).
Das gleiche bei der anderen Funktion.
Wir nennen sie mal y3=sqrt(sqrt(4-x^4)) und y4=-sqrt(sqrt(4-x^4)).
Dann plotte mal diese 4 Funktionen (y1,y2,y3,y4)!
jeweils im Intervall [-sqrt(2),sqrt(2)], wenn möglich y1 und y2 in der selben Farbe und y3 und y4 in der selben Farbe.
f(0) = (4-0^4)^1/4 = 4^1/4 = (2^2)^1/4 = 2^2/4 = 2^1/2= sqrt
(2).
Ich darf im Exponenten kürzen, weil die Basis positiv ist.
Oha, da habe ich beim Lesen eine 2 mit einer vier verwechselt. Sorry.
die n.te Wurzel ist nur nicht-negativ, wenn n eine gerade Zahl
ist.
Auch falsch, guck mal z.B. http://www.mathe-online.at/lernpfade/anaws2/?kapitel=2
Ich zitiere daraus: „Hier die exakte mathematische Definition:
Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist jene
nichtnegative Zahl b, deren n-te Potenz gleich a ist.“
Mhmm … in deinem vorherigen Beitrag, auf den ich mich bezog, schreibst du aber:
die Quadratwurzel ist aber bitteschön eindeutig definiert als :diejenige nichtnegative Zahl, dern Quadrat den Radikanden ergibt.
Da ist von einem *nichtnegativen* Radikanden nicht die Rede, sondern von jedem beliebigen.
Das ist halt nun mal so. Wurzeln sind per definitionem
nichtnegative Zahlen.
Dass die Wurzel eindeutig als nicht-negativ definiert ist, sehe ich aus der angegebenen Quelle zwar auch so, aber wundere mich doch, dass das sämtliche Mathematiklehrer so überhaupt nicht juckt. Unsere Gleichungen x = sqrt(a) ergeben immer zwei Lösungen …
Hmm, komisch … natürlich hast du durchgehend Recht, aber wundern tut’s mich doch, dass uns da was ganz Anderes beigebracht wird.
Ich glaube das Beste wäre, wenn Dominik mal die komplette Aufgabe posten würdest. Dann könnten wir ihm auch am Besten helfen. Weil so tappen wir doch irgendwie im Dunkeln.
ich weiß nicht, ob ich die einzige bin, die inzwischen ein
bisschen verwirrt ist, was die Aufgabenstellung betrifft.
Ich war anfangs auch verwirrt. Meine einzige Erklärung wäre halt das mit den impliziten Funktionen.
achja, und wenn irgendjemand seine Zeichnungen irgendwo hochladen könnte, wäre es auch nicht schlecht.
Dass die Wurzel eindeutig als nicht-negativ definiert ist,
sehe ich aus der angegebenen Quelle zwar auch so, aber wundere
mich doch, dass das sämtliche Mathematiklehrer so überhaupt
nicht juckt. Unsere Gleichungen x = sqrt(a) ergeben immer zwei
Lösungen …
nicht ganz: x=sqrt(a) ist eine Lösung.
wenn du aber die Gleichung x^2=a hast, dann hast du zwei Lösungen.
einmal x=sqrt(a) und einmal x=-sqrt(a), weil beide Zahlen im Quadrat a ergeben. Verständlich?
habe und diese lösen möchte, fange ich damit an, zu quadrieren. Und dann erhalte ich zwei Lösungen, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist- Und diese Lösungen sind
Das ist halt nun mal so. Wurzeln sind per definitionem
nichtnegative Zahlen.
Dass die Wurzel eindeutig als nicht-negativ definiert ist,
sehe ich aus der angegebenen Quelle zwar auch so, aber wundere
mich doch, dass das sämtliche Mathematiklehrer so überhaupt
nicht juckt. Unsere Gleichungen x = sqrt(a) ergeben immer zwei
Lösungen …
Hmm, komisch … natürlich hast du durchgehend Recht, aber
wundern tut’s mich doch, dass uns da was ganz Anderes
beigebracht wird.
x darf auch zwei Werte annehmen. Was aber nicht sein darf ist das eine Funktion f oder g bei einem x mehrere Werte annimmt.
und wenn jemand schreibt: f(x) = ±√x, dann meint er die Schar von Funktionen f(x) = a√x mit a∈{1,-1}, also zwei Funktionen.
owT