Hallo!
Habe weiter unten eine Frage zur Kinematik gepostet, die ich mittlerweile konkreter formulieren möchte. Was haltet ihr von folgendem Problem:
- In der ebenen Geometrie sind Lösungen für eine Kruve bekannt, die sích als SChnittpunktkurve anderer Kurven darstellen läßt.
- Daher zieht hier die Schnittpunkttheorie algebraischer Kruven.
=> 1. Wie lautet eine allg. Formel für die Anzahl algebraischer Kurven in der Ebene?
Was passiert Euerer Meinung nach, wenn man nun auf eine eine Kugeloberlfäche übergeht? Hier ist doch die Theorie algebr. Kurven nicht mehr anwendbar, da dich Kugelkooridnaten eine poeriodisch (!) Abbildung darstellen.
Man stelle sich in der Ebene die Schnittpunkte einer Ellipse mit einer Geraden vor: 2 Stück! Auf der Kugel kann die Ellipse (sehr langgezogen) u.U. mehrfach um die Kugel gehen, die Gerade ebenfalls: daher können doch beide „beliebig viele“ Schnittpunkte haben.
Oder??
Gruß
hdi
Hallo!
Habe weiter unten eine Frage zur Kinematik gepostet, die ich
mittlerweile konkreter formulieren möchte. Was haltet ihr von
folgendem Problem:
- In der ebenen Geometrie sind Lösungen für eine Kruve
bekannt, die sích als SChnittpunktkurve anderer Kurven
darstellen läßt.
- Daher zieht hier die Schnittpunkttheorie algebraischer
Kruven.
=> 1. Wie lautet eine allg. Formel für die Anzahl
algebraischer Kurven in der Ebene?
Die Anzahl der Schnittpunkte (mit ihren Vielfachheiten gezaehlt) ist nicht groesser als das Produkt der Grade der Gleichungen, ebenso fuer die Anzahl der „Aeste“, falls die Loesungsmenge nicht aus isolierten Punkten besteht. Falls man die Punkte im Unendlichen mitzaehlt, d.h. homogenisiert und das System im projektiven Raum betrachtet, gilt Gleichheit. Diese Beziehungen sind mit dem Namen Bezout belegt.
Buecher: Macaulay 1916, van der Waerden Band II vor 1955.
Was passiert Euerer Meinung nach, wenn man nun auf eine eine
Kugeloberlfäche übergeht? Hier ist doch die Theorie algebr.
Kurven nicht mehr anwendbar, da dich Kugelkooridnaten eine
poeriodisch (!) Abbildung darstellen.
Was Du unten moechtest, ist eine Kugel mit einem (engen) Zylinder schneiden. Jeder der Kreise besteht in obigem Sinne aus zwei Aesten (hat geometrische Grad 2), so dass in der Summe das Gradprodukt 4 herauskommt.
Man stelle sich in der Ebene die Schnittpunkte einer Ellipse
mit einer Geraden vor: 2 Stück! Auf der Kugel kann die Ellipse
(sehr langgezogen) u.U. mehrfach um die Kugel gehen, die
Gerade ebenfalls: daher können doch beide „beliebig viele“
Schnittpunkte haben.
Oder??
Du musst auseinanderhalten, ob Du die Kugel mit einer Ebene/einem Ellipsoid schneidest, was voll algebraisch ist, oder ob Du die Kugel mit einer Ebene „einwickelst“, d.h. eine (differenzierbare) Abbildung der Ebene auf die Kugel betrachtest und ebene Figuren uebertraegst. Das ist nicht mehr algebraisch und kann ziemlich haesslich werden.
Ciao Lutz
Hallo Lutz,
bin leider kein Mathematiker, daher vielleicht etwas begriffsstutzig:
Die Sache mit dem Grad-Produkt ist einleuchtend, sowas hatte ich mir schon gedacht. Aber wie ermittle ich die Vielfachheit eines Schnittpunktes? Was sind Punkte im Unendlichen, was heißt in diesem Zusammenhang „homogenisieren“? Die Frage nach den unendlichen Punkte beschäftigt mich sehr!
Vielleicht kapiere ich da etwas grundlegendes nicht: ich hatte nicht gedacht, die Kurven (im kartesischen) Raum durch Schnitt zweier geometrischer Objekte (Kugel + x ) zu erzeugen, sondern quasi auf der Kugeloberfläche durch eine algebraische Gleichung. Diese würde in den Parametern phi, theta (z.B.) formuliert (in der Parameterebene - soweit noch algebraische Geometrie zuständig) und durch eine Abbildung auf die periodische Kugeloberfläche abgebildet - somit die algebraische Geometrie nicht mehr anwendbar. Richtig?
Gibt es zum gesamten Thema auch vernünftiges online-Material, Uni-Skripte oder ähnliches? Habe bereits gesucht, aber nur recht wenig gefunden.
Gruß
hartmut