Ad 1.:
Geodäten als kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugelkoberfläche … yepp, da haben sie ihre Bezeichnung her. Aber allgemeiner sind es Bahnkurven von Körpern bei kräftefreier Bewegung. Und nicht nur in einem euklidieschen (also „flachen“) Raum, sondern in allgemeinen gekrümmten Räumen.
Es ist nun aber gerade die entscheidende Aussage der ART, daß der Kraftbegriff (und es geht ausschließlich um die Gravitation) durch den der Raumkrümmung ersetzt wird. Man kann sagen, wenn sich - newtonsch ausgedrückt - ein massiver Körper in einem Gravitationsfeld bewegt, dann bewegt sich allgemeinrelativistisch ein gekrpmmter Raum in einem gekrümmten Raum. Und die zugehlrigten Bahnkurven sind daher Geodäten. Btw.: Die Bahn eines (masselosen) Lichtteilchens wird als Nullgeodäte bezeichnet. Sie entspricht der Geraden im eukidischen Anschauungsraum.
Nun war es so, daß die Lösung der Feldgleichungen für den Raum jenseits des Schwarzschild-Horizontes (d.h. wenn die Massendichte ein entsprechendes Maß erreicht), d.h. die sogenannte „innere Schwarzschildlösung“, einen sich selbst immer weiter ad infinitum krümmenden Raum beschreibt. Das ist nicht nur so, wenn eine Massendichte die Schwarzschildbedingung überschreitet, wenn also ein BH entstaht, sondern auch, wenn ein Probekörper in ein bereits vorhandenes BH einfällt: Es gibt keine „stabile“ geschlossene Bahn innerhalb des Rschwarzschild, so wie es sie bei nicht kollabierten Massen (Sterne) gibt. Jeder jeweilige „Ort“ eines Objektes befindet sich auf einer inneren Schale, welche ihrerseits kollabiert.
Und in diesem Kontext konnten Stephen Hawking und Roger Penrose in den 1960ern, daß alle Bahnen in einem solchen sich selbst infinit krümmenden Raum irgendwo enden. Und weiter, daß diese Endpunkte alle identisch sind. Also in einer einzigen Singularität enden.
In diesem → Artikel ist das, worum es dabei geht, etwas ausführlicher beschrieben.
Diese ist nun eben nicht etwa ein Punkt „in dem alle Masse komprimiert ist“. Das ist ein irreführende Vorstellung. Es ist ja ein unendlich in sich gekrümmter Raum, also die Krümmung divergiert ad infinitum. Man kann das auch so ausdrücken: Die Singularität ist ein Punkt, der keine räumlich extendierte Umgebung hat. Seine Umgebung, egal wie „weit“ sie gefaßt wird, besteht nur in diesem Punkt.
Das gibt dann auch einen Ausblick auf deine andere Frage.
Ad 2.:
Es ist irreführend, von „ausdehnungsloser“ oder unendlich „zusammengedrückter“ Materie zu sprechen (obwohl auch viele kompetente Physiker das so sagen). So kann man den Zustand bezeichnen, bevor der Kollaps den Ereignishorizont erreicht. Vielleicht auch in dem folgendenn Prozess, bis die Singulariät erreicht ist. Aber „ausdehnungslos“ ist ja ein Begriff, der ein punktförmiges Objekt innerhalb eines ihn umgebenden Raums begreift. Aber die Materie „in“ der Singulariät hat keine solche Umgebung: Aller Raum um sie herum ist nur dieser Punkt. Deshalb benutzt die zugehörige Fachsprache auch unmissverständlicher den Begriff „divergiertes Krümmungsmaß“, statt „Punkt“.
Auch „zusammengedrückt“ ist kein adäquates Adjektiv mehr für diesen singulären Zustand. Denn es imaginiert, daß da eine äußere Kraft auf die räumlich ausgedehnte Materie wirkt (welche sich aussichtslos gegen das immer weiter Komprimiertwerden wehrt). Es ist ja die (massive) Materie selbst, die sich selbst ad infinitum „zusammenzieht“. Die makrophysikalische Anschauung versteht ja unter „Masse“ immer auch ein ausgedehntes Objekt. Das ist aber bereits im Elementarteilchenbereich, also im subatomaren Bereich, nicht mehr der Fall - zumal in dieser Größenordnung sowieso der Begriff „Volumen“ keinen physikalischen Sinn mehr macht. Übrigens besteht auch ein Neutronenstern bereits nicht mehr aus „Atomen“, sondern (im Wesentlichen) aus Neutronen. Und die kollabieren nicht etwas deshalb weiter, weil es sich um sowas wie „unkomprimierbare Kügelchen“ handelt. Sondern weil ein seltsames Naturgesetz - das schon erwähnte Paulische Ausschließungsprinzip - Teilchen mit Spin 1/2 verbietet, denselben Ort einzunehmen. Für Teilchen mit ganzzahligem Spin („Bosonen“, also Photonen, Gluonen, auch die hypothetischen Gravitonen) gilt das Verbot nicht.
Es ist ja nicht so, daß Physiker hier einem von außen entgegengeschwappten „Wunder“ begegnen, sondern daß umgekehrt die Mathematik diese Strukturen beschreibt, und dann erst entdeckt wird, daß diesen mathematischen Strukturen tätsächlich etwas im physikalsichen-materiellen Beobachtrungsbereich entspricht - und sich so verhält, wie die Mathematik es vorschreibt, Schwarze Löcher z.B. kannte man ja schon kurz nach der ART Publikation 1915. Und Einstein hatte bis in die 1050er nicht geglaubt, daß es sowas real im Universum geben könnte. Daß die Natur mathematisch ist, ist ja vielmehr das „Wunder“.
Gruß
Metapher
PS. Ich hab noch lebhaft in Erinnerung, wie sich in den 1970ern die theoretischen Physiker darüber lustig machten, daß die Experimentalphysiker allen Ernstes versuchten, die Existenz von Quarks nachzuweisen. Sie waren ursprünglich ausschließlich als mathematische Konstrukte verstanden - bis es an ihrer „realen“ Existenz keine Zweifel mehr gab …