Der Schwarzschildradius errechnet sich bekanntermaßen aus der Gleichsetzung der Formel für die potetielle Energie im Gravitationsfeld und der Formel für die kinetische Energie(wobei v=c); man erhält dann: R=2GM/c^2; soweit alles klar;
In der Relativistischen Physik heißt es dann ganz plötzlich: R=GM/c^2; darauf kommt man, indem man die kinetische Energie ersetzt durch E=mc^2; meine Frage: was soll das?
Was ist denn nun die richtige Formel?
Es kann doch nicht 2 Schwarzschildradien geben?
Hi Jo 
Die letzte Formel ist richtig, denn die kinetische Energie ist tatsächlich E=m*c^2.
Nach dieser Formel steckt die Bewegungsenergie allein in der Masse eines Körpers, die ja bekanntlich mit der Geschwindigkeit v zunimmt:
m= m0/sqrt(1-(v/c)^2) ; m0=Ruhemasse
Wenn du nun E=m*c^2 in eine Taylorreihe für v
R = 2GM/c^2 ist richtig.
Der Gedankengang ist der folgende
(klassisch): Man berechnet die Entweich-
geschwindigkeit, indem man Randbedingungen
R gegen Unendlich, v (Geschw.)=0 annimmt.
Dann kommt man zu dem Ergebnis, dass die
Energie E = 0.5*m*v^2 - G*m*M/R == 0 ist.
Nach R umgestellt ergibt R = 2GM/v^2
mit v^2 = c^2.
Ersetzung von 0.5*m*v^2 durch m*c^2 ist
gewagt, da m*c^2 nicht nur kinetische
Energie enthaelt (ja auch die Ruhemasse).
Allgemein relativistisch
geloest folgt der Schwarzschild-Radius aus
der Loesung der Einsteinschen
Feldgleichungen und fuehrt ebenfalls zu
R = 2GM/c^2.
MEB
Hi MEB
Bist du sicher, dass die zweite Formel richtig ist? Ich habe irgendwann im Studium mal gelernt, dass die relativistische kinetische Energie stets E=mcc ist. Deswegen war ich (selber Gedankengang, den du aufgeführt hast) zu dem Schluß gekommen, dass der Faktor 2 falsch ist.
… aus der Loesung der Einsteinschen
Feldgleichungen und fuehrt ebenfalls zu
R = 2GM/c^2.
Wenn man also als kinetische Energie E=mcc annimmt, dann muss der Faktor 2 eine Ursache in der Allgemeinen Rela-Theorie haben, oder? Mich würde echt mal interessieren, wo der herkommt …
cu Stefan.
Bist du sicher, dass die zweite Formel
richtig ist? Ich habe irgendwann im
Studium mal gelernt, dass die
relativistische kinetische Energie stets
E=mcc ist. Deswegen war ich (selber
Gedankengang, den du aufgeführt hast) zu
dem Schluß gekommen, dass der Faktor 2
falsch ist.
E=mc^2 ist alle Energie, die kinetische
nur E=(m-m0)c^2 (Ruhmasse m0 vorher
abziehen).
Der Gedankengang wie in der Klassik ist
so auf die ART nicht anwendbar, da das
Potential eine umso andere Form annimmt,
je näher man dem Schwarzschild-Radius
kommt.
Es ist genau wie mit der Periheldrehung
des Merkur: Das rein Newtonsche Problem
der Planetenbewegung fuehrt zu Ellipsen-
bahnen. Das ART-Problem führt auf die
selben Differentialgleichungen fuer
Planetenbahnen mit dem Unterschied eines
Stoerterms, der fuer die Ellipsenrotation
verantwortlich ist. Je naeher dem
Schwarzschildradius, desto groesser wird
der Stoerterm, umso mehr Ordnungen muessen
beruecksichtigt werden.
Gluecklicherweise ist die exakte Loesung
der einsteinschen Feldgleichungen fuer das
zentralsymmetrische Potential gekannt
(Schwarzschild Metrik), und die liefert
einen Radius R=2GM/c^2.
MEB
Hi MEB
Du hast von dem Rala-Zeug viel mehr Ahnung als ich, deswegen kannst du mir vielleicht bei einem Verständnisproblem zum Schwarzschild-Radius helfen …
Wie kann es überhaupt sein, dass etwas in ein schwarzes Loch hineinfällt? Ich habe mal gelesen, dass die Zeit immer langsamer läuft, je näher man von außen dem Schwarzschild-Radius kommt. Ein aussenstehender Beobachter sieht nun, wie ein Objekt auf seinem Weg in ein schwarzes Loch immer langsamer wird, so langsam, bis es am Schwarzschild-Radius stehenbleibt.
Ich habe nie verstanden, warum das Objekt dann trotzdem in das schwarze Loch hineinfällt …
Vielen Dank schon mal vorab …
cu Stefan.
Wie kann es überhaupt sein, dass etwas in
ein schwarzes Loch hineinfällt? Ich habe
mal gelesen, dass die Zeit immer
langsamer läuft, je näher man von außen
dem Schwarzschild-Radius kommt. Ein
aussenstehender Beobachter sieht nun, wie
ein Objekt auf seinem Weg in ein
schwarzes Loch immer langsamer wird, so
langsam, bis es am Schwarzschild-Radius
stehenbleibt.Ich habe nie verstanden, warum das Objekt
dann trotzdem in das schwarze Loch
hineinfällt …
das ist ja gerade der Witz –
Zeit ist relativ, also abhaengig vom
Beobachter. Ein Beobachter, der ins Loch
faellt, tut das in einer endlichen Zeit.
Das Beschleunigungsverhalten ist sogar dem
klassischen Fall identisch. Dieser ins Loch
fallende Beobachter misst seine Eigenzeit
(die Zeit im Ruhsystem eines Freifalls).
Ein Beobachter, der in Ruhe zum Schwere-
zentrum ist, also in Ruhe zum Schwarzen
Loch, wird den toerichten Raumfahrer, der
sich in das Loch gewagt hat, asymtotisch
gegen den Schwarzschild-Radius gehen sehen,
da sich die Zeit ins Unendliche dehnt
(genau wie die Zeitdilatation gegen
unendlich marschiert, wenn die Relativ-
geschwindigkeit gegen c geht.
Als Anmerkung, in der allgemeinen
Relativitaetstheorie, die ja jedes beliebige
Koordinatensystem als gleichberechtigt an-
sieht, hat man immer mit dem Problem der
Interpretation der verwendeten Koordinaten
zu tun. So ist es keineswegs eindeutig, dass
eine bestimmte Koordinate einer Zeit
entspricht, die man von irgendeiner Uhr
ablesen kann. Es ist noch nicht einmal
garantiert, dass eine bestimmte Koordinaten
ueberhaupt „zeitlichen“ Charakter hat. Als
Beipiels nehme man nochmals die uebliche
Schwarzschild-Loesung. Innerhalb des
Schwarzschild-Radius hat die Zeitkoordinate
plotzlich raeumlichen Charakter, waehrend
die Radius-Koordinate ploetzlich zeitlicher
Natur ist. Nun lassen sich die Koordinaten
beliebig transformieren und es laesst sich
dadurch erreichen, dass eine Koordinate
stets zeitlich bleibt, die andere stets
raeumlich. All diese mathematischen Spiele-
reien koennen das Rechenproblem erheblich vereinfachen, letztenendes bleibt es bei
der Interpretation der entsprechenden
Koordinaten. Bei der Schwarzschild-Loesung,
die statischer natur ist, kann man sinnvoll
eine Weltzeit definieren. Das ist genau die
Zeit, die im Ruhsystem des schwarzen Loches
gemessen wird. Immer sinnvoll ist die Eigen-
zeit, die Zeit, die im mitbewegten System
gemessen wird. Eigenzeit und Weltzeit sind
in der Scwarzschild-Metrik durch eine
Beziehung verknuepft, die sich am
Schwarzschild-Radius asymtotisch verhaelt.
Etwas zur Vorstellung:
Der Raum wird durch ein schwarzes Loch
gekruemmt (bei r=0 unendlich). Man kann
sich diese Kruemmung als eine Dehnung der
Zeit und des Raumes vorstellen.
MEB
Hi MEB
Erstmal vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort.
Ich bekomme langsam ein Gespür für die Allgemeine Rela und werde mich damit jetzt mal intensiver beschäftigen. Hast du vielleicht einen Buchtip, wo ich das alles in mathematischer Form nachlesen kann?
cu Stefan.
PS: Ich bin zwar fertiger Physiker, aber um Allg Rela habe ich immer einen großen Bogen machen können …
Hast
du vielleicht einen Buchtip, wo ich das
alles in mathematischer Form nachlesen
kann?
Ray d’Inverno
Titel: Grundlagen der Relativitaetstheorie
(glaube ich; glaube jedoch nicht, dass der
Autor mehrere von der Sorte geschrieben hat)
Das ist die Bibel der ART schlecht hin.
Mit Uebungsaufgaben und fuer Studenten
geschrieben. Behandelt auch die SRT und den
Index-Zugang zur Tensorrechnung.
MEB
Hi MEB
Ist bereits bestellt (E-Commerce ist was Feines!) …
Danke dir !!!
cu Stefan.