Hallo
Ich habe gerade eine furchtbare Menge am wickel.
ZUr Vereinbarung vorweg
„e“ soll für „Element“,
„c“ für „Teilmenge“ und
„“ für „ungleich“ stehen
Nun zu den beiden verrückten Eigenschaften meiner Menge M
I: Für alle A,B,CeM gilt, dass wennn AeB und BeC, dann auch AeC.
Dmit habe ich die Transitivität der Elementbeziehung gefordert. gelten tut diese z.B.von dieser Menge
M={ {a,{b,c}}, {b,c}, a,b,c}
Aber es gibt noch viel mehr Mengen, mit deser Eigenschaft.
Nun zur zweiten Eigenschaft, bei der es wirklich haarig wird:
II: Für alle AeM gilt, dass es ein B,CeA gibt, mit BC und B,C sind nicht lehr.
Damit gilt für alle Elemente von M, dass sie Mengen sind, mit mindestens zwei Elementen. Nun ein paar Eigenschaften von M, die sich aus I und II ergeben:
Alle Elemente von M sind Mengen, deren Elemente Mengen, die Mengen sind, deren Elemente usw. ad Infinitum.
Das ist der Fall, weil jedes Element einer Menge die Element von M ist wiederum ein Element von M ist [wegen I], da diese Menge nun Element von M ist gilt für sie auch II. Für Ihre Elemente gilt nun ihrerseits I, so dass diese Elemente wieder zu M gehören wonach II gilt usw.
Wenn AeM, dann gilt AcM. Das liegt daraun, dass M wie eben gesehen alle Elemente von A enthält.
M enthält keine Lehre Menge, kla sonst wäre II nicht erfüllt.
M enthält keine Urelemente, denn für diese Gelte ja II nicht, neben dem enthält M keine Menge die ein Urelement also nur Mengen Mengen und Nochmals Mengen die nicht leer sind.
Meine Frage ist nun, ob es M geben kann. Gibt es also eine Menge die nur Mengen enthält die nicht lehr sind, und selbst nicht lehre Mengen enthalten die wiederum selbst nur nicht lehre Mengen enthalten usw.
Darf sowas sein?
Viele Grüße
Martin