Schwere Gleichung auflösen-experten gefragt!

Wissenschaft Mathematik
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Hi,

ich schreibe derzeit eine Jahresarbeit über das Thema „Torchancen beim Freistoß-mathematisch betrachtet“. Dabei soll ich die maximale Flugbahn von Torschüssen unter verschiedenen Situationen untersuchen.

Ich muss — vmax rauskriegen, mit der der ball bei einem bestimmten winkel noch ins tor fliegt—!!!
leider komme ich an dieser stelle nicht weiter.

Die Grundgleich ist die Gleichung der Wurfparabel beim schrägen Wurf, glaube ich. hier einmal meine bisherige grundgleichung:

h= sin(gamma) * d/cos(gamma) - 1/2 * g * d^2/ cos(gamma)^2 * v^2

v ist meine unbekannt, nach vmax wird gesucht!

danke für hilfe im voraus!!!

hier noch einmal genau dieser teil meiner jahresarbeit (vll. hilft er euch weiter)=

Als Abschussgeschwindigkeit wurde v= 85 gewählt, da ein aufs Tor geschossener Freistoß ca. eine Geschwindigkeit von 70 bis 100 er-reicht .
Für die Berechnung muss die Geschwindigkeit in umgerechnet wer-den:
V= = 23,61 m/s genommen
Wenn der Ball nun vom Boden abhebt muss die Geschwindigkeit unter Berücksichtigung des Abschusswinkels berechnet werden, denn es entstehen zwei Teilgeschwindigkeiten in senkrechter Richtung und in waagerechter Richtung.

Bei einem Schuss, der vom Boden abhebt wird die Geschwindigkeit durch die Erdanziehung kompensiert. Die Teilgeschwindigkeiten berech-net man mit den Kongruenzsätzen:

      • > vx= cos(alpha)* v
      • > vz= sin(alpha) * v
        Da es sich um eine, von der Erdanziehung beschleunigte Bewegung handelt und man die Gravitation des Balles berücksichtigen möchte, verwendet man folgende Formel:
        h= 1/2 *g * t^2

Die Bewegungsgleichung mit gleichförmiger Bewegung lautet: d=vx*t
. Daraus ergibt sich die Zeit, die der Ball benötigt, um den Tor-mittelpunkt zu erreichen: t=d/vx
Weil die Erdanziehungskraft der Schusskraft entgegenwirkt, errechnet man die Höhe des Balles an, wenn dieser sich auf Höhe des Tormittel-punktes befindet, wie folgt:
h2= vz*t - 1/2 *g*t^2

Wie schon in Kapitel 3 berechnet, fliegt der Ball bei einer Torhöhe von 2,27m noch ins Tor. Damit der Ball im Tor landet muss nun
h

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Hallo

ich hoffe, ihr könnt mir
weiterhelfen,

Das nicht, aber vielleicht kann der pdf-Bericht (Login nötig) von http://www.pro-physik.de/Phy/leadArticle.do?laid=7998 hier einige brauchbare Hinweise liefern.

mfg M.L.

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Hallo,

Als Abschussgeschwindigkeit wurde v= 85 gewählt, da ein aufs
Tor geschossener Freistoß ca. eine Geschwindigkeit von 70 bis
100 er-reicht .
Für die Berechnung muss die Geschwindigkeit in umgerechnet
wer-den:
V= = 23,61 m/s genommen

Hinweis:
Wenn die übliche Geschwindigkeit zwischen 70 und 100 km/h anzusiedeln ist, brauchst Du aber nicht mit 2 Stellen hinter dem Komma zu rechnen.
Nimm einfach z.B. 25 m/s an. Das ist genau genug.

Ich habe aus einem Lehrbuch ein Rechenbeispiel mit Lösung.
Falls Du es wünscht, maile ich Dir 3 Seiten. Vllt hilft es Dir weiter.

Gruß:
Manni

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Hallo,

Ich muss — vmax rauskriegen, mit der der ball bei einem
bestimmten winkel noch ins tor fliegt—!!!
leider komme ich an dieser stelle nicht weiter.

Die Grundgleich ist die Gleichung der Wurfparabel beim
schrägen Wurf, glaube ich. hier einmal meine bisherige
grundgleichung:

h= sin(gamma) * d/cos(gamma) - 1/2 * g * d^2/ cos(gamma)^2 *
v^2

v ist meine unbekannt, nach vmax wird gesucht!

Das ist eine quadratische Gleichung in v, die wirst du doch wohl aufloesen koennen? (ist hier besonders einfach, da kein linearer Term in v vorkommt)

sin(x)/cos(x) kannst du kuerzer als tan(x) schreiben.

Lass dich nicht von den trigonometrischen Funktionen irritieren, die das ganze kompliziert aussehen lassen.

Gruesse,
Moritz

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Die Grundgleich ist die Gleichung der Wurfparabel beim
schrägen Wurf, glaube ich. hier einmal meine bisherige
grundgleichung:

h= sin(gamma) * d/cos(gamma) - 1/2 * g * d^2/ cos(gamma)^2 *
v^2

v ist meine unbekannt, nach vmax wird gesucht!

danke für hilfe im voraus!!!

Wenn du die Gleichung nach v auflöst kommt raus

v=d\sqrt{\frac{g}{2(d\sin^2\gamma-h\cos^2\gamma)}}

Das ist die Geschwindigkeit mit der der Ball bei gegebenem Winkel &gamma an die Latte knallt.
Allerdings wird der Bruch für kleine &gamma negativ, und dann kann man die Wurzel nicht ziehen. Das entspricht der Tatsache, dass du bei genügend flachem Winkel so fest schießen kannst wie du willst, ohne dass der Ball über das Tor fliegt. Die Grenze ist bei
\gamma=\arctan\sqrt{\frac{h}{d}}
Ist &gamma größer, dann darfst du mit maximal der berechneten Geschwindigkeit schießen, damit der Ball nicht über das Tor fliegt. Zusammengefasst also

v_{max}=\begin{cases}d\sqrt{\frac{g}{2(d\sin^2\gamma-h\cos^2\gamma)}} & \text{falls }\gamma>\arctan\sqrt{\frac{h}{d}}\\infty & \text{sonst}\end{cases}

Außerdem sollte man noch &gamma