Tut leid, daß ich so hartnäckig bin, aber die Masse,
Dichte und Luft müssen es doch irgendwie beeinflussen…
Es gibt drei Dinge, die hier eine Rolle spielen:
- Die Gravitationskraft FG = γ*m*M/r²
- Der Strömungswiderstand FW = cw*A*ρ*v²/2
- Der Auftrieb FA = γ*ρ*V*M/r²
γ = Gravitationskonstante
M = Masse der Erde
r = Abstand vom Erdmittelpunkt
m = Masse des fallenden Körpers
V = Volumen des fallenden Körpers
v = Geschwindigkeit des Fallenden Körpers gegenüber der Luft
A = angeströmte Fläche des fallenden Körpers
cw = Widerstandsbeiwert des fallenden Körpers
ρ = Dichte der Luft
Die Angelegenheit kann etwas vereinfacht werden, wenn zunächst angenommen wird, daß die Gravitation unabhängig von der Höhe konstant bleibt und die Erdbeschleunigung einen Wert von g=9,81m/s² hat. Dann kann man die Gleichgungen (unter beachtung der Vorzeichen) 1 und 3 zusammenfassen zu
FG+A = g*(m-ρ*V)
Da wir es zudem mit Kugeln zu tun haben, können wir das Volumen und die angeströmte Fläche des fallenden Körpers auf seinen Radius R zurückführen:
A = π*R²
V = 4*π*R³/3
Die Sache mit dem Widerstandbeiwert wird allerdings etwas schwieriger, weil er von der Art der Strömung abhängig ist. Für kleine Reynoldszahlen gilt cw=0.45 und für Re>106 gilt cw=0.18.
Der Strömungswiderstand beträgt nun
FW = cw*π*R²*ρ*v²/2
Wenn wir jetzt auch noch die Masse des Körpers aus seinem Volumen und seiner Dichte ρK berechnen, beträgt die Gesamtkraft auf einen fallenden Körper (bei einem steigenmden Ballon würde sich das Vorzeichen des Strömungswiederstandes umkehren):
F = π*R²*[g*4*R(ρK-ρL)/3 - cw*ρL*v²/2]
Wenn man das Null setzt und nach v auflöst, kann man bereits die maximale Fallgeschwindigkeit errechnen, die natürlich mit der Dichte des fallenden Körpers steigt.
Wenn man allerdings die Fallzeit berechnen wilkl, dann muß man die Gleichung durch die Masse m=4*π*R³/3*ρK des fallenden Körpers dividieren und erhält folgende Differentialgleichung:
dv/dt = g*(1-ρL/ρK) - 3/8*cw/R*ρL/ρK*v²
Die Lösung dieser Gleichung erspare ich mir aber.
