Hallo zusammen,
S=0,3333…*(a+b+c)
So ist der Schwerpunkt in einem Dreieck definiert, wenn man es über die Ortsvektoren macht.
Wie bewese ich nun, dass es auch so ist?
Es ist ja eig. nichts anderes als der arithmetische Mittelwert aller Ortsvektoren und somit ja schon somit den Schwerpunkt bildet.
mfg,
Hanzo
Hallo!
Erste Überlegung: Schwerpunkt eines Körpers ist eigentlich ein physikalischer Begriff; für das Dreieck wohl übersetzt als Schwerpunkt dreier Massepunkte in den Ecken. Das jetzt vektoriell aufgeschrieben. … mfG
Hi
Man könnte es zeigen, indem man eine spezielle Eigenschaft des Punktes nachweist, der ihn als Massenschwerpunkt auszeichnet.
zB dass die Rotation des Dreiecks um diesen Punkt minimale Energie benötigt oder dass das Dreieck sich auf diesem Punkt exakt ausbalancieren lässt wenn du es auf eine Nadel oder ähnliches legst, …
Das kommt ganz darauf an welche Eigenschaft des Schwerpunkts benutzt werden soll.
Stellt man sich das Dreieck aus lauter kleinen Teilchen zusammengesetz vor, dann ist der Massenschwerpunkt M jener Punkt für den gilt, dass sich die Summe aller Vektoren m*(t-M) zu Null ergibt. Dabei ist t der Ortsvektor des gerade betrachteten Teilchens und m dessen Masse.
Bei einem Dreieck mit homogen verteilter Masse kann man sich die Masse auch zu gleichen Teilen in den drei Eckpunkten verteilt vorstellen (müsste man dann vermutlich auch erstmal beweisen). Dann sieht die Gleichung so aus:
m/3 * (a - M) + m/3 * (b - M) + m/3 * (c - M) = 0
Dabei ist m die Masse des Dreiecks und a,b,c dessen drei Eckpunkte. Es sollte nicht schwer sein das zu M = 1/3 (a + b + c) umzustellen.
MfG IGnow
Moin,
Erste Überlegung: Schwerpunkt eines Körpers ist eigentlich ein
physikalischer Begriff; für das Dreieck wohl übersetzt als
Schwerpunkt dreier Massepunkte in den Ecken.
nein, es ist der Flächenschwerpunkt. Die Eckpunkte spielen keine besondere Rolle.
In dem link, den Du oben gegeben hast, ist alles wunderbar erklärt.
Gruß
Olaf