Schwerpunkt einer Fläche

Hallo,

ich komme mit folgender Aufgabe leider nicht weiter.

Berechne den Schwerpunkt der Fläche zwischen dem Kreisbogen x^2+y^2=1 und der Geraden durch die Punkte (0,1) und (1,0).

Ich kann den Schwerpunkt des Viertelkreises berechnen oder den Schwerpunkt der Fläche zwischen zwei Kreisbögen, aber wie ich die Integrale hier transformieren und berechnen muss, krieg ich nicht raus. Danke schonmal!

Hallo Borisniko

Ich kann den Schwerpunkt des Viertelkreises berechnen oder den
Schwerpunkt der Fläche zwischen zwei Kreisbögen, aber wie ich
die Integrale hier transformieren und berechnen muss, krieg
ich nicht raus. Danke schonmal!

Schau mal in die Wikipedia

http://de.wikipedia.org/wiki/Schwerpunkt#Schwerpunkt…

Da ist es mit einem Beispiel erklärt. Ich hoffe, das hilft Dir weiter.

Viele Grüße!

Hallo Mathemat,

das habe ich natürlich schon gelesen.
Es hilft mir leider nicht. Da steht ja auch nicht, wie ich die untere Flächenbegrenzung mit einbeziehe. Den Schwerpunkt der Fläche zwischen Graph und Achse ist kein Problem, aber hier werden ja zwei Graphen gegeben, die die Fläche begrenzen. Der Abschnitt Zusammenfassen von Schwerpunkten ist ja auch nicht darauf bezogen.

Wenn du mir also anders helfen könntest, wäre ich dir dankbar.

Hallo Borisniko

Ich kann den Schwerpunkt des Viertelkreises berechnen oder den
Schwerpunkt der Fläche zwischen zwei Kreisbögen, aber wie ich
die Integrale hier transformieren und berechnen muss, krieg
ich nicht raus. Danke schonmal!

Schau mal in die Wikipedia

http://de.wikipedia.org/wiki/Schwerpunkt#Schwerpunkt…

Da ist es mit einem Beispiel erklärt. Ich hoffe, das hilft Dir
weiter.

Viele Grüße!

Hallo,

ich komme mit folgender Aufgabe leider nicht weiter.

Berechne den Schwerpunkt der Fläche zwischen dem Kreisbogen
x^2+y^2=1 und der Geraden durch die Punkte (0,1) und (1,0).

Du berechnest einfach das Integral der Differenz der beiden gesuchten Funktionen im betrachteten Koordinatenintervall:

= \int_x0^x1 f(x)-g(x) dx / (x1-x0)
In Deinem Fall sollte f(x) = y = sqrt(1-x^2) und g(x) = y = 1-x sein, wenn ich mich jetzt nicht vertan habe.
entsprechend für y.

Gruß,
Ingo

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.
Wäre ja schön, wenn da so einfach wäre, aber der Punkt der dabei rauskommt, liegt nichtmals in der Fläche drin.

Habe damit raus xs = 0,58 und ys = 0,17…

xs könnte ja noch passen, ys sicher nicht.
Aber wie krieg ich das dann raus?

Viele Grüße,
Boris

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Moin,

vielen Dank für deine Antwort.
Wäre ja schön, wenn da so einfach wäre, aber der Punkt der
dabei rauskommt, liegt nichtmals in der Fläche drin.

Ne, das paßt dann wohl nicht. Ich habe mich auch vertan.
Die allgemeine Formel für den Schwerpunkt lautet

= \int (ρ x) dx / \int ρ dx
wobei hier x die Koordinate ist, deren Schwerpunkt gesucht ist und ρ die Dichte. Die Dichte ist hier die entsprechende Breite des gesuchten Flächenelements in y:
ρ(x) = \sqrt(1-x2) - x

Also bekommst Du

= \int (\sqrt(1-x2)-x)*x dx / \int \sqrt(1-x2)-x dx

Das kann man lösen, zur Not Hilft Nachschlagen im Bronstein.
Entsprechend umgekehrt muß man die Breite des Flächenelements in x als Dichte wählen, wenn man den Schwerpunkt in y ausrechnen möchte.

Ich hoffe, ich habe jetzt nicht noch Tipfehler drin…

Gruß,
Ingo

Also du musst ja das Integral von 0 bis 1 von x*(sqrt(1-x^2)-1+x) berechnen und das dann teilen durch das Integral von 0 bis 1 von sqrt(1-x^2)-1+x.

Das zweite geht einfach, das spaltet man auf in das Integral von sqrt(1-x^2) und den Rest. x wird durch sin t substituiert. Das ergibt Integral von 0 bis pi/2 von cos^2 t. Und das ergibt mit partieller Integration pi/4.

Das erste Integral spaltet man auch auf in das Integral von x*sqrt(1-x^2) und den Rest. Wieder x durch sin t substituieren ergibt Integral von 0 bis pi/2 von sin t*cos^2 t. Das ergibt ebenfalls mit partieller Integration 1/3.

Zusammen kommt für x_s 0,58397946462803622040130323383715 raus, bzw. 2/(3*(pi-2)).

Aus Symmetriegründen muss y_s das gleiche sein.

Ich hoffe dass hilft.

hendrik

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Erstmal danke, aber warum sollte y_s das gleiche sein wie x_s, das verstehe ich nicht?

Erstmal danke, aber warum sollte y_s das gleiche sein wie x_s,
das verstehe ich nicht?

Bei einer achsensymmetrischen Fläche liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.
Die Fläche zwischen dem Einheitskreis und der Gerade durch (0,1) und (1,0) ist symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden y=x, daher muss der Schwerpunkt da drauf liegen.

hendrik