Schwerpunkt rechtwinkliges Dreieck

Wissenschaft Physik
#1

Hallo liebe Mathematiker unter Euch,

ich suche eine möglichst einfache Formel um den Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks in den Koordinaten der beiden rechtwinkligen Achsen zu berechnen.

Liegt also z.B. in einem X-Y-Koordinatensystem ein Dreieck so, dass die eine Kathede ausgehend vom Koordinaten-Nullpunkt auf der X-Achse den Wert 3,4 lang ist und die andere Kathede auf der Y-Achse bspw. 1,9 hoch ist, interessiert mich die Koordinate x, über der der Schwerpunkt dieses Dreiecks liegt. Analog dann auch die Koordinate y.

Mit „möglichst einfache Formel“ meine ich möglichst ohne trinometrische Funktionen, da es bei mir um ein sehr rechenintensives Problem geht, bei dem die Schwerpunkt-Berechnung sehr oft und daher effizient stattfinden muss. Ggf. würde ich auch geeignete nichttrigonometrische Näherungsmethoden vorziehen.

Schon im voraus vielen Dank für interessante Vorschläge
Harry

#2

Moin,

ich suche eine möglichst einfache Formel um den Schwerpunkt
eines rechtwinkligen Dreiecks in den Koordinaten der beiden
rechtwinkligen Achsen zu berechnen.

Liegt also z.B. in einem X-Y-Koordinatensystem ein Dreieck so,
dass die eine Kathede ausgehend vom Koordinaten-Nullpunkt auf
der X-Achse den Wert 3,4 lang ist und die andere Kathede auf
der Y-Achse bspw. 1,9 hoch ist, interessiert mich die
Koordinate x, über der der Schwerpunkt dieses Dreiecks liegt.
Analog dann auch die Koordinate y.

Mit „möglichst einfache Formel“ meine ich möglichst ohne
trinometrische Funktionen, da es bei mir um ein sehr
rechenintensives Problem geht, bei dem die
Schwerpunkt-Berechnung sehr oft und daher effizient
stattfinden muss. Ggf. würde ich auch geeignete
nichttrigonometrische Näherungsmethoden vorziehen.

Der Schwerpunkt liegt bei 1/3 x und 1/3 y.

moe.

#3

Danke, das ist ja eine echt einfache Formel. Empirisch mit ganzen Zahlen hatte ich es mir auch so zurecht gebogen aber wenn das generell so ist - super

Nochmals Danke
Harry

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#4

Der Schwerpunkt liegt bei 1/3 x und 1/3 y.

Bist Du sicher?
Ich habe es gerade mal „schnell“ ausgerechnet (also 1 A4-Blatt ist es schon geworden), und ich komme auf
((Wurzel 2) - 1) / (Wurzel 2), jeweils mal x oder y.
Ausgerechnet ergibt dieser Faktor etwa 0,29, also nicht ganz 1/3…

Olaf

#5

Der Schwerpunkt liegt bei 1/3 x und 1/3 y.

Bist Du sicher?

Der Schwerpunkt liegt auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Seitenhalbierende schneiden sich im Verhältnis 2/3 zu 1/3 bzw. 2:1.
http://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende

Wenn Du vom Koordinatenursprung zur Hypothenuse die Seitenhalbierende zeichnest und noch eine andere Seitenhalbierende, erhältst Du den Schwerpunkt.

Das Lot von der Mitte der Hypothenuse zu den Koordinatenachsen trifft die Koordinatenachsen in ihrer Mitte.

Dass das Lot vom Schwerpunkt auf die Koordinatenachsen die Koordinatenachsen-Hälfte nochmal drittelt, kann mit dem Strahlensatz leicht gezeigt weden.

Gruß JoKu

#6

Der Schwerpunkt liegt bei 1/3 x und 1/3 y.

Bist Du sicher?
Ich habe es gerade mal „schnell“ ausgerechnet (also 1 A4-Blatt
ist es schon geworden), und ich komme auf
((Wurzel 2) - 1) / (Wurzel 2), jeweils mal x oder y.
Ausgerechnet ergibt dieser Faktor etwa 0,29, also nicht ganz
1/3…

Scheint an den vielen Rundungen zu liegen, die Du im Rahmen der Sinus-Cosinus-Rechnungen machen musst. Es sind exakt 1/3. Jede Schwerelinie teilt jede andere im Verhältnis 2 zu 1. Daraus kommst Du über Projektion auf die Katheten wiederum zu 2 und 1. Also 1/3.

moe.

#7

Hallo Olaf,

Der Schwerpunkt liegt bei 1/3 x und 1/3 y.

Bist Du sicher?
Ich habe es gerade mal „schnell“ ausgerechnet (also 1 A4-Blatt
ist es schon geworden), und ich komme auf
((Wurzel 2) - 1) / (Wurzel 2), jeweils mal x oder y.
Ausgerechnet ergibt dieser Faktor etwa 0,29, also nicht ganz
1/3…

Also, mein Integral liefert die obigen 1/3.

Nix fuer ungut,
Puersti

#8

Also, mein Integral liefert die obigen 1/3.

Hm, hab ich mich wohl verrechnet. Oder ist mein Ansatz falsch? Wenn ich durch die X-Koordinate des Schwerpunktes eine vertikale Linie ziehe, dann ist das Dreieck ausbalanciert, oder? Ich habe dann das Flächenintegral links und rechts der Linie gleichgesetzt.
Obwohl - wenn ich es jetzt so aufschreibe…dieser Ansatz stimmt vielleicht gar nicht. Das Dreieck muss nur auf dem Punkt ausbalanciert sein, nicht aber auf einer Linie durch den Schwerpunkt. Sorry.

Olaf

#9

Hallo Olaf,

Hm, hab ich mich wohl verrechnet. Oder ist mein Ansatz falsch?
Wenn ich durch die X-Koordinate des Schwerpunktes eine
vertikale Linie ziehe, dann ist das Dreieck ausbalanciert,
oder? Ich habe dann das Flächenintegral links und rechts der
Linie gleichgesetzt.

Nicht die Flaechen muessen gleich sein, sondern die Flaechenmomente, d.h. das Produkt von Flaeche und Schwerpunktabstand.
Hint: Den Gesamtschwerpunkt von Teilflaechen berechnet man, indem die Summe der Flaechenmomente durch die Gesamtflaeche dividiert wird, also

 Summe( A\_i \* s\_x\_i )
S\_x = --------------------
 Summe( A\_i )

HTH,
Puersti

#10

Hallo liebe Mathematiker unter Euch,

ich suche eine möglichst einfache Formel um den Schwerpunkt
eines rechtwinkligen Dreiecks in den Koordinaten der beiden
rechtwinkligen Achsen zu berechnen.

Die Koordinaten des Schwerpunktes eines (beliebigen) Dreiecks sind das arithmetische Mittel der Eckkoordinaten.

Also:
Seien (x1,y1), (x2,y2), (x3, y3) die Eckpunkte, so ergibt sich:

xs = (x1+x2+x3)/3
ys = (y1+y2+y3)/3

Gruß Frank

#11

Hallo Frank, Moe und alle anderen,

vielen Dank für Euren Input. Meine Erwartungen wurden wirklich übererfüllt und das in kürzester Zeit. Wie schon öfter finde ich, dass hier bei wer-weiss-was die richtig hellen Köpfe beieinander stecken.

Super und nochmals vielen Dank
HarryM

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