Schwerpunktber. an Pyramide

Wissenschaft Physik
#1

Hallo!

Ich hab folgende Aufgabe vor mir liegen:

Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide ABCD.
a) Bestimme die Schwerpunkte S1, S2, S3, S4 der Seiternflächen der Pyramide, also die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden der Dreiecke ABC, ABD, ACD, BCD
b) Die Schwerpunkte S2, S3, S4 der Dreiecke, ABD, ACD, BCD bilden ein Dreieck. Bestimme dessen Schwerpunkt S
c) Prüfe, ob S auf der Geraden durch S1 und D liegt.

Wie ich die Seitenmittelpunkte der Dreiecke aus a) berechne ist klar, aber wie komme ich an die Geradengleichung für die Seitenhalbierenden?
Der Richtungsvektor müsste doch orthogonal auf dem entsprechenden Seitenverktor liegen und auf der Ebene, die durch die Eckpunkte des Dreiecks gegeben ist. Ist dieser Ansatz richtig? Wenn ja, ist er auch der kürzeste?

Danke im Vorraus
Flo

#2

Hallo Flo

Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide ABCD.
a) Bestimme die Schwerpunkte S1, S2, S3, S4 der Seiternflächen
der Pyramide, also die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden
der Dreiecke ABC, ABD, ACD, BCD
b) Die Schwerpunkte S2, S3, S4 der Dreiecke, ABD, ACD, BCD
bilden ein Dreieck. Bestimme dessen Schwerpunkt S
c) Prüfe, ob S auf der Geraden durch S1 und D liegt.

Wie ich die Seitenmittelpunkte der Dreiecke aus a) berechne
ist klar, aber wie komme ich an die Geradengleichung für die
Seitenhalbierenden?
Der Richtungsvektor müsste doch orthogonal auf dem
entsprechenden Seitenverktor liegen

ok, richtig

und auf der Ebene, die
durch die Eckpunkte des Dreiecks gegeben ist.

Wenn Du damit meist, daß er in der durch das entsprechende Dreieck aufgespannten Ebene liegen muß, hast Du recht.

Ist dieser
Ansatz richtig? Wenn ja, ist er auch der kürzeste?

Naja, warum einfach wenn’s auch kompliziert geht.
Zeichne Dir einfach mal in der Ebene nur eines der Dreiecke auf und in dieses eine Seitenhalbierende ein. Diese Seitenhalbierende geht durch die Mitte einer Dreiecksseite und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks. Wie wäre es wenn Du schlicht weg und einfach diesen Verbindungsvektor als Richtungsvektor verwenden würdest?

Hoffe das war der Dir fehlende Gedanke

Gruß

Helga

#3

Hallo Helga!

Ist dieser
Ansatz richtig? Wenn ja, ist er auch der kürzeste?

Naja, warum einfach wenn’s auch kompliziert geht.
Zeichne Dir einfach mal in der Ebene nur eines der Dreiecke
auf und in dieses eine Seitenhalbierende ein. Diese
Seitenhalbierende geht durch die Mitte einer Dreiecksseite und
durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks. Wie wäre
es wenn Du schlicht weg und einfach diesen Verbindungsvektor
als Richtungsvektor verwenden würdest?

Hoffe das war der Dir fehlende Gedanke

Daran hatte ich ursprünglich auch gedacht, habe den Gedanken aber verworfen, da ich den Beweis dafür, dass die Seitenhalbierende zwingend durch den gegenüberliegenden Eckpunkt geht, nicht kannte.
jetzt hab ich gerabe die Dreiecke gezeichnet (na ja zeichnen lassen, dank WinFunk) und es sieht irgendwie nicht so aus, als wenn das oben genannte immer zutrifft.

trotzdem Danke
Flo

#4

Hallo Flo,

Sehe gerade, daß mir bei der Antwort oben ein Fehler unterlaufen ist:

Der Richtungsvektor müsste doch orthogonal auf dem
entsprechenden Seitenverktor liegen

Korrektur: nein, falsch!! Das wäre nur bei gleichschenkligen oder gleichseitigen Dreiecken so. (Schande, Schande …)

Daran hatte ich ursprünglich auch gedacht, habe den Gedanken
aber verworfen, da ich den Beweis dafür, dass die
Seitenhalbierende zwingend durch den gegenüberliegenden
Eckpunkt geht, nicht kannte.

Hier verwechselst Du offensichtlich Seitenhalbierende und Mittelsenkrechte.

jetzt hab ich gerabe die Dreiecke gezeichnet (na ja zeichnen
lassen, dank WinFunk) und es sieht irgendwie nicht so aus, als
wenn das oben genannte immer zutrifft.

Die Seitenhalbierende ist tatsächlich die Verbindungsstrecke Dreiecksseite zum gegenüberliegenden Eckpunkt.

Gruß

Helga

#5

Hallo Helga,

Danke nochmals. Jetzt schrumpft die Aufgabe auch auf ein berechenbares (im wahrsten Sinne des Wortes) Maß zusammen.

Gruß
Flo