Lösung
An einem Quadrat mit 10 cm Kantenlänge fehlt rechts oben ein rechteckiges Stück mit 1 cm Breite und 2 cm Höhe. Welche Kantenlängen muss ein Dreieck haben, das man abschneiden muss, um den Schwerpunkt wieder genau in die Mitte des Quadrats zu bringen?
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Die Flächenmomente des Rechtecks und des Dreiecks müssen in x-Richtung gleich sein (y-Richtung machen wir später)
A_Dreieck x x_Dreieck = A-Rechteck x x_Rechteck (1)
(0,5 x a x b ) x (5 – a/3) = (1 x 2 ) x 4,5 (2)
(0,5 x a x b ) x (5 – a/3) = 9 (3)
(a x b ) x (5 – a/3) = 2 x 9 (4)
(a x b ) x (5 – a/3) = 18 (5)
5 x (a x b) – ( a^2 x b)/3 = 18 (6)
5 x (a x b) = 18 + ( a^2 x b)/3 (7)
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Die Flächenmomente des Rechtecks und des Dreiecks müssen auch in y-Richtung gleich sein
A_Dreieck x y_Dreieck = A-Rechteck x y_Rechteck (8)
(0,5 x a x b ) x (5 – b/3) = (1 x 2 ) x 4 (9)
(0,5 x a x b ) x (5 – b/3) = 8 (10)
(a x b ) x (5 – b/3) = 2 x 8 (11)
(a x b ) x (5 – b/3) = 16 (12)
5 x (a x b) – ( a x b^2)/3 = 16 (13)
5 x (a x b) = 16 + ( a x b^2)/3 (14)
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In (7) und (14) steht links vom Gleichheitszeichen das Gleiche, also ist auch die rechte Seite gleich
18 + ( a^2 x b)/3 = 16 + ( a x b^2)/3 (15)
18 - 16 = ( a x b^2)/3 - ( a^2 x b)/3 (16)
2 = ( a x b^2)/3 - ( a^2 x b)/3 (17)
2 = [( a x b^2) - ( a^2 x b)] / 3 (18)
6 = [( a x b^2) - ( a^2 x b)] (19)
6 = [( a x b) x b - ( a x b) x a (20)
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Wenn die Fläche das gleiche “Gewicht” haben sollen, müssen sie gleich groß sein.
Also ist A_Dreieck = A_Rechteck.
Das heißt aber nicht anderes als
(0,5 x a x b) = 1 x 2 (21)
(a x b) = 2 x 1 x 2 (22)
(a x b) = 4 (23)
Das Ergebnis aus (23) kann man in (20) einsetzen.
Man erhält dann
6 = 4 x b - 4 x a (24)
Wenn aber, wie (23) sagt, (a x b ) = 4 ist, dann ist auch a = 4 / b (25)
Das setzt man in (24) ein
6 = 4 x b - 4 x (4/b) (26)
6 = 4 x b – 16/b (27)
Ich mag keine unbekannten im Nenner, deshalb multipliziere ich mit b
6 x b = 4 x b^2 – 16 (28)
oder
4 x b^2 – 6 x b – 16 = 0 (29)
Das ist die “ganz normale” quadratische Gleichung des Typs
a_2 x x^2 + a_1 x x + a_0 = 0 (30)
Dafür gibt es eine Lösungsformel, nämlich
x_1= [-a_1 + Wurzel aus (a_1^2 – 4 x a_0 x a_2)] / 2 x a_2 (31)
und
x_2= [-a_1 - Wurzel aus (a_1^2 – 4 x a_0 x a_2)] / 2 x a_2 (32)
Damit wird
b_1 = [6 + Wurzel aus (6^2 + 4 x 16 x 4)] / 2 x 4 (33)
b_1 = [6 + Wurzel aus (36 + 292)] / 8 (34)
b_1 = [6 + Wurzel aus (328)] / 8 (35)
b_1 = 23,088 / 8 = 2,886 (36)
b_2 rechne ich nicht aus, weil das negativ werden würde
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In (25) steht, dass a = 4 / b ist, also ist
a = 4 / 2,886 = 1,386 (37)
FERTIG!
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Kontrolle
x-Richtung:
2 x ( 5 – 1,386/3) = 9
2 x 4,538 = 9
9,076 = 9 Der Fehler liegt unter 1 %
y-Richtung
2 x (5 –2,886/3) = 8
2 x 4,038 = 8
8,076 = 8 Der Fehler liegt auch hier unter 1 %
Wenn ich noch mehr Stellen angegeben hätte, wäre der Fehler sicher unter 1 %
Flächen:
A_Dreieck = A_Rechteck
0,5 x 1,386 x 2,886 = 1 x 2
2 = 2
Viel Spaß beim Nachrechnen! Denkt dran, falls das richtig ist, dass ich stundenlang dran gegrübelt habe. Das copyright der „genialen“ Lösung liegt also bei mir 'grins*
Mal sehen, ob jemand einen ähnlichen Gedankengang hat.
Gruß
Mad Dog
