Guten Tag wünsche ich,
Ich würde mich freuen, wenn ich hier im Forum Hilfe finden kann. Es geht um eine Übungsaufgabe, die ich nur zu 2/3 lösen kann. Das letzte 1/3 ist aber für die baldige Klausur wichtig Vllt hat ja einer von euch eine gute Idee, wo mein Problem liegt.
Aufgabe:
Eine Saite (Länge L= 1,4 m; Masse/Länge ρ*= 1,78 10^-3 kg/m) schwingt transversal in der
Grundschwingung. Die Spannkraft beträgt 400 N. Zur Zeit t1=0,02 s ist die Auslenkung maximal. Zu dieser Zeit beträgt bei x1= 0,4 m die Auslenkung 0,013 m. Berechnen Sie
a) die Schwingungsfrequenz f, (169,3 s^-1)
b) die Amplitude, (0,0166 m)
c) die Auslenkung bei x2=0,1m zur Zeit t2=0,021s ! (1,794 mm)
a)
f = c/2*L
f =169,30 1/s
b)
An(x) = An * sin(kn * x)
An = An / sin(kn*x)
An = 0,0166m
c)
Da komme ich leider nicht weiter.
Ich meine, dass es sich um eine stehende Welle handelt und diese Formel habe ich dafür gefunden.
yn(x,t) = An*sin(kn*x)*cos(wn*t+δn)
An = Amplitude --> 0,0166[m]
kn = Wellenzahl kn = 2*π / λn = 2*π / 2,8m = 5/7π[m]
ωn = Kreisfrequenz = k * f =5/7π[m]*169,30 1/s
ωn = 379,91 1/s
δn = Anfangsbedingungen abhängige Phasenkonstante (leider weiß ich nicht genau, was ich hier eintragen muss)
Lösung sollte sein. yn(x,t)= 0,001794m
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Es würde mir wirklich riesig helfen.
hab’ jetzt nicht alles nachgerechnet, aber das sieht ja schonmal ganz gut aus.
Die Formel habe ich auch nicht überprüft, aber so ähnlich muss die sicherlich aussehen.
δn = Anfangsbedingungen abhängige Phasenkonstante (leider weiß
ich nicht genau, was ich hier eintragen muss)
Die Phasenkonstante ist ein Term, der Dir ermöglicht, die Wellengleichung auf eine bestimmte Anfangsbedingung anzupassen. Hier wird wahrscheinlich die Amplitude für x = t = 0 auch A = 0 sein, weswegen die Phasenkonstante zu null werden muss.
Schau doch mal, ob Du mit δn = 0 auf das Ergebnis kommst.
Ich denke auch, dass die Phasenkonstante bei einer eingespannten Saite = 0 sein müsste, oder ich deute die Aufgabe einfach nicht richtig.
Ich habe dann wie folgt eingesetzt:
yn(x,t) = 0,0166[m]*sin(5/7*π[1/s]* 0,1m) * cos(379,91[1/s]* 0,021s)
yn(x,t) = -0,00045733 [m]
und leider sollen da yn(x,t)= 0,001794m raus kommen. Das müsste die falsche Formel sein, oder ich habe mich bei was anderen vertan, aber ich habe jedes Ergebnis schon sehr oft nachgerechnet.
Also verstehe ich richtig, dass ich meinen cos Anteil maximal bekommen muss, um die Auslenkung zu einer bestimmten Zeit und einem bestimmten Ort ermitteln zu können? Ich dachte immer, dass das nur für die Amplitude von Nöten ist.
Ich habe mich dann mal auf die Suche nach einer Formel für die Phasenkonstante gemacht und folgende gefunden:
δn = arctan (-v0 / (y0 * ωn)
y0 = max Auslenkung = 0,013m
v0 = phasengeschwindigkeit c = 474,0455 m/s
Aber auch mit der Phase, komme ich nicht auf das gesuchte ergebnis.
Stimmt denn überhaupt mein Ansatz?
Ich hätte nie gedacht, dass es viel viel Leichter ist, eine Amplitude zu ermitteln, als eine Auslenkung bei einer Saite.
gruß
greenie
Die Einh. der Wellemzahl ist 1/m !
kn = 2*π / 2,8 1/m
ωn = Kreisfrequenz = k * f =5/7π[m]*169,30 1/s
Formel falsch! Diese Formel ergäbe als Erg. für ω die Einheiten m/s!
Richtig ist ω = k * c oder einfach ω = 2*π*f
Für die Phasenkonst. rechnest du jetzt (siehe meine erste Antwort)
(ωn*t1+δn)=0 , also
δn= -wn*t1 = - 2π*169,30 1/s * 0,02 s rad =- 2π*3,386 rad
Wegen der 2π-Periodizität kann man auch 3* 2π addieren und erhält (etwas handlicher) δn=- 2π*0,386 rad = -2,42 rad
(Wenn’s unbedingt in Grad sein muss, dann sind das -138,9°)
So , und mit An,ω, k und δ kannst du nun zu jeder beliebigen Zeit an jeder beliebigen Stelle die Auslenkung ausrechen (Taschenrecher auf BOGENMASS stellen!)
Also verstehe ich richtig, dass ich meinen cos Anteil maximal
bekommen muss, um die Auslenkung zu einer bestimmten Zeit und
einem bestimmten Ort ermitteln zu können?
Nein, das ist Quatsch. Aber wenn es in der Aufgabe heißt …
Zur Zeit t1=0,02 s ist die Auslenkung maximal.
… dann muss der zeitabhängige Teil (also der cos) eben zu dieser Zeit maximals sein!
δn = arctan (-v0 / (y0 * ωn)
Das ist auch eine schöne Formel, die sicher auch bei manchen Aufgaben gilt, aber nicht hier!
y0 = max Auslenkung = 0,013m
v0 = phasengeschwindigkeit c = 474,0455 m/s
Das v0=c sei ist jetzt frei erfunden …
Gruß Kurt
PS: Wenn du in Grad rechnest, wird’s nix! Schalte deinen TR auf Bogenmaß! Die Kreisfreq. ω hat die Einh. rad/s, ω*t also rad. Wenn du dann eine Phasenkonstante in Grad dazu addierst, kommt nix Vernünftiges raus!
Vielen dank für deine Mühen. Ich weiß, dass es im Nachhinein doch sehr dumme Fehler von mir waren, aber jetzt habe ich nicht nur eine Sache gut verstanden, sondern noch ein paar mehr. Das wird mir jetzt beim lernen viel helfen.
Mit ωn war es mein Fehler. Die Formeln dazu habe ich alle notiert, nur mir kam das soviel vor, aber naja das Ergbenis habe ich nun endlich auch selber hier stehen!
y(x,t)= 0,0166m * sin((5/7*π 1/m)*0,1m)*cos(2*π*169,30 1/s*0,021s+(-2,42 rad)
y(x,t)= 1,777 *10^-3 m
Also nochmals danke für deine Zeit und einen schönen Tag noch.
Gruß
greenie
Vllt hat ja einer von euch eine gute Idee, wo mein Problem liegt.