Hallo!
Ganz lösen kann ich das Problem auch nicht, da - wie meine Vorredner schon sagten - die Sache ziemlich komplex ist. Aber für einen vergleichsweise einfachen Fall hilft Dir vielleicht folgendes weiter:
Als erstes überlegen wir uns, welche Form der Körper hat, denn davon hängt maßgeblich ab, wie die Lösungungen aussehen. Das einfachste Schwingungsspektrum hat ein Quader. (Ein Kugel geht grade noch, alles andere wird unglaublich kompliziert).
Als zweites legen wir fest, welche Wellen wir zulassen wollen. Der einfachste Fall sind Longitudinalwellen, wie sie in einem Gas oder einer Flüssigkeit auftreten. In einem Festkörper kommen Transversalwellen noch hinzu. Auch das macht es komplizierter. Lassen wir sie also weg und sprechen nur über Longitudinalwellen.
Als drittes fragen wir nach der Reflexion an den Begrenzungsflächen. Da wir (siehe 2.) uns für normale Schallenwellen in Gasen oder Flüssigkeiten entschieden haben, können wir von festen Wänden ausgehen. An den Wänden haben wir also Schwingungsknoten. (Bei einem massiven Metallstück befände sich an der Oberfläche natürlich ein Schwingungsbauch).
Das Ding, das wir nun beschrieben haben, nennt sich Resonator. Die Eigenschwinungen dieses Resonators müssen nun folgende Bedingungen erfüllen: Die Länge des Resonators muss ein l-faches der halben Wellenlänge in x-Richtung sein, die Breite ein m-faches der halben Wellenlänge in y-Richtung und die Höhe ein n-faches der halben Wellenlänge in z-Richtung. l, m und n sind natürliche Zahlen (inkl. 0). Daraus kann man nun eine Wellenlänge in x-Richtung, y-Richtung und z-Richtung berechnen. Die „Gesamtwellenlänge“ kann man dann mit dem Pythagoras ausrechnen: lamda = Wurzel (lamda_x² + lamda_y² + lamda_z²) und daraus - mithilfe der Schallgeschwindigkeit - die Resonanzfrequenz.
Kombinationen von l, m und n nennt man Schwingungsmoden. Underschiedliche Schwingungsmoden mit gleicher Frequenz nennt man entartet. Z. B. sind in einem würfelförmigen Resonator die Moden (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) entartet. (Das ist übrigens genau der Grund, warum es in Atomen drei p-Orbitale gibt, die energetisch entartet sind).
Für einen Resonator gibt es also ein ganzes Spektrum an Frequenzen, die angeregt werden können. In einem Resonator, der viel länger als breit und hoch ist, entsprechen die niedrigsten Schwingungsmoden (1,0,0), (2,0,0), (3,0,0) usw. einfach den Naturtönen. Das ist bei einer ungedackten Orgelpfeife der Fall*. Der gehörte Ton enstpricht dem Grundton (1,0,0). Die Obertöne verändern zwar den Eindruck der Klangfarbe, haben aber keinen Einfluss auf die wahrgenommene Tonhöhe.
Du fragtest nach dem Einfluss des Materials: Das kommt in diesem Fall (keine Transversalwellen) ausschließlich über die Schallgeschwindigkeit rein: Eine Orgelpfeife, die mit Helium betrieben wird, klingt höher als eine, die mit Luft betrieben wird.
Michael
* Bei der ungedackten Orgelpfeife sind die beiden Stirnflächen offen. Die Resonanzbedingung bleibt aber die selbe. Bei der gedackten Orgelpfeife gibt es ein offenes und ein geschlossenes Ende, so dass die Wellenlänge in Längsrichtung ein Ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge + lamda Viertel sein muss. Die Frequenzen der niedrigsten Schwingungsmoden verhalten sich zueinander wie
ungedackte Orgelpfeife: 1 : 2 : 3 : 4 … (Naturtöne)
gedackte Orgelpfeife: 1 : 3 : 5 : 7 : …
Wegen der geringen Breite und Höhe des Resonators liegen die Schwingungsmoden mit m>0 und n>0 bei sehr hohen Frequenzen und spielen eigentlich keine Rolle.
