Hallo,
Sylvester ist ja nicht mehr weit und bis es soweit ist kommt hier eine kleine (aber interessante!!) Aufgabe zum Nachdenken:
„Am Boden eines Sektglases, das 10 cm hoch gefüllt ist, wird eine Blase vom Durchmesser 3 nm gekeimt. Wie groß ist ihr Durchmesser unmittelbar unter der Oberfläche?“
(Oberflächenspannung: 0,073N/m, Dichte: 1,03g/cm^3)
Zum Wohl… und schon mal frohe Weihnachten an die Runde
Oliver
„Am Boden eines Sektglases, das 10 cm hoch gefüllt ist, wird
eine Blase vom Durchmesser 3 nm gekeimt. Wie groß ist ihr
Durchmesser unmittelbar unter der Oberfläche?“(Oberflächenspannung: 0,073N/m, Dichte: 1,03g/cm^3)
Gehen wir der Einfachheit halber davon aus, daß ein Außendruck P1 von 1,000… Bar herscht, dann haben wir auf den Boden des Glases einen solchen von P2 = 1,0103 Bar.
wenn P1 * V1 = P2 * V2 ist
und V1 sich aus 4/3 Pi * r hoch 3 zu 14,137 nm hoch 3 ergibt, erhält man als V2 14,282 nm hoch 3
woraus sich ein D von 3,0103 nm
ergiebt.
Die Steiggeschwindigkeit dieser Blase ist aber eher gering einzuschätzen.
Die Oberflächenspannung kann ich nicht verwerten, es sei denn, ich hab die Aufgabenstellung völlig mißverstanden.
Gandalf
Hallo,
vielleicht geht es ja so, wenn s=Oberfaechenspannung und A=Oberflaeche ist (I = integral von…)
W = - I s*dA = -s*(A-Ao)
Das ware immerhin schon mal die Arbeit, um die Oberflaeche der Blase zu vergroessern. Diese Arbeit gewinnt die Blase in dem sie aufsteigt:
W = - I F®*dh mit ho = 10 cm
Die Auftriebskraft ist eigentlich eine Funktion von r (Radius) also dem Volumen der Blase. Dann gehts so:
W = - I F®*dh/dr * dr
Ich denke mir mal dh/dr laesst sich mit Hilfe von s/r (Innerdruck aufgrung Oberflaechenspannung) berechnen. Bei beiden Integralen hat man nach der Integration das gesuchte r drin was man vielleicht nach r aufloesen kann.
Ob diese Denkweise als nicht Physiker ueberhaupt sinn macht, weiss ich auch nicht.
CU
Hallo,
deine Lösung ist völlig richtig, wenn man den Druck aufgrund der Oberflächenspannung vernachlässigt.
Da sich aber der Überdruck durch die Oberflächenspannung gemäß p=2e/r berechnet ist der Druck in der Blase in diesem FAll mehrere hundert Bar!! Hier ist also eher der Schweredruck der 10 cm hohen Wassersäule zu vernachlässigen…
Oliver
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
„Am Boden eines Sektglases, das 10 cm hoch gefüllt ist, wird
eine Blase vom Durchmesser 3 nm gekeimt. Wie groß ist ihr
Durchmesser unmittelbar unter der Oberfläche?“(Oberflächenspannung: 0,073N/m, Dichte: 1,03g/cm^3)
Rehnen wir zunächst einmal den Druck aus, den der Hohlraum (eine Blase wäre es erst außerhalb der Flüssigkeit) am Boden des Glases hat. Dieser setzt sich zusammen aus dem Luftdruck p über dem Sekt, dem statischen Druck ρ*g*h und dem Binnendruck 2*σ/r0 infolge der Oberflächenspannung. Dieser Druck ist gleich der Summe aus CO2- und Wasserdampfpartialdruck. Der CO2-Partialdruck am Boden des Gefäßes beträgt also
p0 = 2*σ/r0 + ρ*g*h + p - p*H2O
Wenn die Blase aufsteigt, fällt der statische Druck weg und der CO2-Partialdruck beträgt
p1 = 2*σ/r1 + p - p*H2O
Wenn beim Aufstieg des Hohlraums die in ihm enthaltene Stoffmenge an CO2 konstant bleibt (das ist zwar nicht so, aber davon lassen wir uns die Laune nicht verderben), dann folgt aus dem Gesetz des idealen Gases, daß das Produkt aus CO2-Partialdruck und Hohlraumvolumen konstant bleibt. Nach einigem Umstellen erhalten wir:
0 = (p - p*H2O)*(r13-r03) + 2*σ*(r12-r02) - ρ*g*h*r03
Wenn wir jetzt die Konstanten
σ = 0,073 N/m (Oberflächenspannung)
ρ = 1030 kg/m3 (Dichte)
r0 = 1,5*10-9 m (Anfangsradius des Hohlraums)
h = 0,1 m (Anfangstiefe)
g = 9,81 m/s2 (Erdbeschleunigung)
p = 101325 Pa (Luftdruck)
p*H2O = 2000 Pa (Wasserdampfpartialdruck)
einsetzen, erhalten wir
0 = r13 + 1,47*10-6m*r12 - 1,33*10-23m3
Bevor ich mit den Cardanischen Formeln auf diese Gleichung losgehe, versuche ich es mit einer Näherungslösung, indem ich nach dem Fixpunktsatz ein Iterationsverfahren entwickle:
ri+1 = √[(1,33*10-23m3-ri)/1,47*10-6m]
Wenn ich als Startwert den Ausgangsradius verwende, dann erhalte ich
r1 = 1,50001*10-9 m
r2 = 1,50001*10-9 m
usw.
Das verfahren konvergiert also schon nach dem ersten Schritt und verrät uns, daß der Hohlraum seine Größe beim Aufstieg nicht spürbar ändert.
Als Bonus könnte ich noch berechnen, wie groß der Radius wird, wenn der Hohraum die Flüssigkeit verläßt. Da er dabei zur Blase wird, erhält er eine zusätzliche Grenzschicht, wodurch sich der durch die Oberflächenspannung erzeugte Binnendruck verdoppelt. Die Gleichung lautet dann
0 = r13 + 2,94*10-6m*r12 - 1,33*10-23m3
und ergibt einen Radius von 1,06*10-9 m. Das Gasvolumen schrumpft also beim Verlassen der Flüssigkeit.
r1 = 1,50001*10-9 m
r2 = 1,50001*10-9 m
usw.Das verfahren konvergiert also schon nach dem ersten Schritt
und verrät uns, daß der Hohlraum seine Größe beim Aufstieg
nicht spürbar ändert.
Ich muß zugeben, ich bin (wieder mal) beeindruckt!!
Genau das habe ich auch raus, ich habs aber veruscht durch Integration zu lösen:
Es gilt ja:
dp=-p/V dV
dabei ist:
dV=4pi*r^2*dr
V=4/3*pi r^3
p=2e/r
und dp = dp/dr*dr + dp/dh*dh = -2e/r^2*dr + roh*g*dh
Das alles ergibt:
roh*g*dh = -4e/r^2 dr
…ja, und dann halt von h0 bis h1=0 auf der rechten Seite und von r0 bis r1 auf der rechten Seite integrieren und man erhält:
-roh*g*h0 = 4e(1/r1-1/r0)
was äquivalent ist zu:
r1 = 1/(roh*g*h0/4e + 1/r0) = 1,5000078*10^-9 m
fast schon schade, daß sich fast nichts ändert nachdem so lange gerechnet hat…
Oliver