Seltsames Kriterium für Reihen-Konvergenz...?

Wissenschaft Physik
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Sei X eine aufzählbare Menge. Die Summe über alle Folgenglieder mit (Index i Element X) ist genau dann absolut gegen a konvergent, wenn es zu jedem e > 0 ein endliches Xe Teilmenge X gibt, so dass für alle endlichen Y mit Xe Teilmenge Y Teilmenge X gilt, dass die Summe über alle Folgenglieder mit (Index i Element Y) in der e-Umgebung um a liegt.

Das Problem ist, ich kann mir diese Definition absolut nicht vorstellen. Gedanklich. Kann mir da jemand vielleicht einen Hinweis geben, was damit gemeint ist? Und warum das so sein muss?

Gruß,
Johannes

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Seltsam?
Hallo, Johannes!
Seltsdam ist v.a. erstmal deine (in Zusammenhang mit mathematischen Fragen zumindest, seh wichtige) Grammatik und Begrifflik.

Sei X eine aufzählbare Menge.

Seit wann gibt es den mathem. Begriffg „aufzählbare menge“?
Ich kenne nur abzählbare Mengen.
Und unaufzählbare märchen. :smile:

Die Summe über alle

Folgenglieder mit (Index i Element X) ist

mit was? Mit Klammer? Und i ist ein Element von X?
Das ist allerdings schpon zu verstehen, daß die Elemente von X als „Zähler“ dienen für die Folgeglieder, deren Summe wohl gegen a konvergiert.
Und diese Folgeglieder nennt man dann gewöhnlich ai, also „a index i“.

genau dann absolut

gegen a konvergent, wenn es zu jedem e > 0 ein endliches Xe
Teilmenge X gibt,

Und was soll das nun wieder sein: „endliches Xe Teilmenge X“???
Da wird das folgende natürlich noch unverständlicher.

so dass für alle endlichen Y mit Xe

Teilmenge Y Teilmenge X gilt, dass die Summe über alle
Folgenglieder mit (Index i Element Y) in der e-Umgebung um a
liegt.:

Das Problem ist, ich kann mir diese Definition absolut nicht
vorstellen. Gedanklich. Kann mir da jemand vielleicht einen
Hinweis geben, was damit gemeint ist? Und warum das so sein
muss?:

Zunächst einmal solltest du die Aufgabe uns nicht frei aus deiner Erinnerung vorstellen, sondern so, wie sie mathematisch formuliert ist.

Es macht zumindest mir keinen Spaß, mich auch noch immer fragen zu müssen, ob meine Ahnung dessen, was du uns fragen möchtest, auch dem wentspricht, was du uns fragen möchtest.

Gruß, moin, manni

Also bitte den OPriginaltext der Aufgabenstellung!

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Vielen, vielen Dank für die immer sehr freundlichen Antworten auf meine Fragen. Ich kann auch nix dafür, wenn ich nun mal die Aufgabe nicht genau so hinschreiben kann, wie sie dasteht, weil das mit den beschränkten Möglichkeiten von ASCII Zeichen einfach nicht geht. Ich habs zwar versucht, aber wenn’s offenbar unverständlich war, dann schreib ichs halt nochmal anders:

Sei X eine abzählbare Menge. Die Reihe über ai mit i Element X ist genau dann absolut gegen a konvergent, wenn es zu jedem epsilon > 0 ein endliches Z Teilmenge von X gibt, so dass für alle endlichen Y mit Z Teilmenge Y Teilmenge X gilt: Der Betrag von (a minus die Reihe über ai mit i Element Y)

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Hallo, Johannes!
Man hat als Mathefreak immer sehr schnell den Eindruck, die „Schüler“ gäben unsereinem praktisch die Schuld für die Kompliziertheit mancher Fragen/Probleme/Sachverhalte.
Tatsächlich werden auch von vielen „Lehrern“ die Tatsachen manchmal unnötig verkompliziert, und alle müssens dann ausbaden.
Aber dein „freundliches Fragen/Bitten“ bei glzeitigem bloßen Hinklatschen eines Formelwußtes ist natürlich eine Freundlichkeit ganz aparter Art.
Und wenn man sich als „Experte“ anstrengt zu beraten auf die Gefahr hin, „das alles ganz falsch verstanden zu haben“, da kommt unsereins schon mal der Groll.

Sei X eine a_b_zählbare Menge.:

Na, das war doch schonmal kein ASCI-Fehler, oder?

Die Reihe über ai mit i Element X
ist genau dann absolut gegen a konvergent, wenn es zu jedem
epsilon > 0 ein endliches Z Teilmenge von X gibt,

Erklärst du bitte einmal, was du meinst mit

„ein endliches Z Teilmenge von X“ ???

so dass für alle endlichen Y mit Z Teilmenge Y Teilmenge X gilt: Der Betrag von (a minus die Reihe über ai mit i Element Y)

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Ja, mit endliches Z Teilmenge X meine ich eine Menge Z, die Teilmenge von X ist, aber endlich. Tut mir leid, wenn die Formulierung verwirrt, aber genau so steht es in der Originalformulierung (übrigens stand da sogar „aufzählbar“).

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Selten seltsam immer noch
Lieber Johannes, und ich schätze mal, ohne den Originaltext mit seiner möglicherweise eigenen Verwirrung vorliegen zu haben, kann ich zumindest nur durch Fragen weiterhelfen; bzw. Anmerkungen:
Womit ich selbst früher zunächst Schwierigkeiten hatte, ist die Unterscheidung zwischen den beiden Folgebegriffen:
Die Folge der Werte, die addiert werden, also die ai (mit i ele \X, wofür man normalerweise ja die Natürlichen Zahlen nimmt, als „Zählmaschine“). Und
Die Folge der Teilsummen oder auchj „Zwischensummen“, die bis zu einem bestimmten iten Glied aus den ai gebildet werden. Diese "Zwischensummen nennt man gewöhnlich sn (nte Summe).
Man sagt dann, die „Folge sn konvergiert gegen einen Wert“, den man in diesem Falle (der Konvergenz) s (und nicht a) nennt.
Also im allgemeinen nicht a.
Gewöhnlich gibt es da nichts, daß man a nennt, nur eben die unendlich vielen aufzusummierenden ai (die man manchmal auch an nennt, je nachdem wie man die „Zähler“ nennt, i oder n.).
Tatsache ist, daß in jeder unendlichen Unter-Teilsummenfolge (die sich zB ergibt, wenn man mehrere ai auf einmal, als Bündel, aufhäuft. Dann werden ja bestimmte Zwischen-Teilsummen
„übersprungen“), also in jeder solchen Folge befinden sich „fast alle“ (=unendlich viele) Elemente dieser Folge (also „Zwischensummen“), nur immer e n d l i c h viele außerhalb.
Das gilt übrigens nicht für „Häufungspunkte“, wenn es mehrere solche geben sollte in einer Folge.
Eine unendliche „Teilsummenfolge“, wenn die dazuzuaddierenden ai selbst eine Nullfolge bilden (also immer kleiner bis fast 0 werden), kann allerdings nicht 2 verschiedene Häufungspunkte haben, denn deren Differenz müßte ja dann schließlich auch gleich 0 sein, also sie identisch; im „unendlichen“.
Ich würde mich an deiner Stelle nicht darauf verkrampfen, die „Aufgabe ganz und gar verstehen zu wollen“. Freue dich über jeden Fortschritt, den du bei der praktischen Anschauung machst.
Vielleicht kommt dann irgendwann „das Verständnis“ von selbst.

Und zwischendurch einfach mal abschalten, Augen zu.
Undf Notozblock neben dem Bett!!!

Allers Gute, moin, manni.

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Danke für die Antwort. Ich glaube, dass die Unterscheidung der Summenglieder und der Partialsummen mein Verständnisproblem war. Nachdem ich jetzt bald 10 Stunden über diese Aufgabe nachgedacht habe, hab ich zumindest verstanden, was überhaupt die Kernaussage ist. Irgendwie hängt das Cauchy-Kriterium für Reihen direkt mit dieser (zugegebenermaßen etwas an den Haaren herbeigezogenen) Definition zusammen, und zwar einfach folgendermaßen (glaube ich jedenfalls): Die Summenglieder außerhalb der epsilon-Umgebung sind ja endlich, und damit wahrscheinlich identisch mit der gesuchten Menge Z. Die Summenglieder, die noch übrigbleiben sind unendlich viele, und für diese gilt das Cauchy-Kriterium für Reihen, weil ja jedes Summenglied aus X, das noch nicht in Z enthalten ist, zu Z hinzugenommen die Summe nicht mehr wesentlich ändert.

Aber is jetzt egal, ich werd mich jetzt anderen Problemen widmen. Danke für deine Mühe und schönen Abend noch!

Gruß,
Johannes

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Sympathisch eigentlich,
der Begriff „aufzählbar“!
Denn eigentlich können sich nur endliche Mengen abzählen lassen.
Und beim Aufzählen, wo ist da das Ende (außer man zählt ein Gedicht oder sagt seine Sünden auf)?
Es bleibt ja mindestens noch eine, also unendlich viel übrig!
Gut getroffen, also!

Batsch, manni