Hallo, ich gehe der Reihe nach:
1.) Am besten du schaust mal bei Focus Money den Krankenkassenvergleich an. (bei goggle eingeben) Hier siehst du aktuell, wie die Kassen abgeschnitten haben. Kleiner Hinweis: Die Betriebskrankenkassen sind finanziell nicht die besten. Schau dir die Beitragssätze der vergangenen Jahre der Krankenkassen an, als diese noch die Möglichkeit hatten, dies selber festzulegen: Kassen, die immer gut dastanden, können gut wirtschaften. Außerdem: such dir eine Krankenkasse OHNE Zusatzbeitrag. 
Ich kann dir zumindest eine Kasse empfehlen: IKK classic.
2.) BKK’n sind finanziell nicht stark. Ich würde keine Betriebskrankenkasse wählen. Lieber die Techniker Krankenkasse, Knappschaft oder Innungskrankenkasse.
3.) In dtl. MUSS jeder versichert sein. Wer sich nicht versichert, wird „zwangsversichert“ und muss rießen Beiträge bezahlen. Darum kommt man nicht drumrum. Solange man unter 23 Jahre alt ist, kann man sich kostenfrei familienversichern. Oder bis 25, wenn man studiert. Du warst nur bis 11.11.10 versichert, ab 12.11.10 hast du keine andere Absicherung. Das ist mehr als schlecht. Ab 12.11.10 musst du dich eigenständig versichern: freiwillige Versicherung heißt das. Das kostet mind. 145 eur im monat. Am besten du schaust, dass du ALg II bekommst - sobald man Lstg. von Arbeitsamt bekommt, zahlt die einen die Kranken- und Pflegeversicherung und jede Sorge ist genommen (was die Versicherung betrifft *g*).
4.) Du hättest dich theoretisch im nov bzw. bitte mitte januar bei einer neuen krankenkasse umschauen können - aber für diese freiwillige versicherung gibt es eine anzeigepflicht von 3 monaten. die 3 monate sind um. oder??? *rechnen* Nein, doch nicht… bite Februar. 11.2. … du kannst dich also bei einer krankenkasse deiner wahl rückwirkend zum 12.11. freiwillig krankenversichern (vorausgesetzt du warst vorer eine weile familienversichert, wovon ich jetzt ausgehe). ab 12.11. hast du nämlich ein wahlrecht. meldest du dich nach dem 11.02. geht es nicht mehr. die anzeigepflicht ist vorbei und die versicherung ändert sich in eine versicherung nach § 5 Abs. 1 Nr. 13 SGB V (schau im Internet mal nach!) - das ist eine Pflcihtversicherung. Preis ist aber der selbe, ABER: da muss man zur letzten versicherung zurück, also müsstest du zur aok.
übrigens ist dein argument, die aok wäre zu teuer, falsch. die gesetzlichen krankenversicherung sind immer gleich teuer, weil der gesetzgeber die preise vorgibt. die kassen unterscheiben sich lediglich in zusatzangeboten; öffnungszeiten; telefonischer erreichbarkeit, freundlichkeit etc.
98 % der leistungen sind gleich. ob du bei der bkk, dak, barmer, tk, aok oder ikk versichert bist: beim arzt sieht der arzt „nur“ die versichertenkarte und die leistungen sind gleich.
deine letzte frage bezog sich auf den bezug vom arbeitsamt: sobald du leistungen vom arbeitsamt bekommst, ist die krankenversicherung gesichert! am besten du suchst dir schnell eine krankenkasse raus, nimmst deinen bewilligungsbescheid vom arbeitsamt und sprichst persönlich bei der krankenkasse vor. 
viel glück und alles gute für den geplanten rankenhausaufenthalt!
