Hallo!
Ich lerne gerade für meine Klausur in Analysis I. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:
"Zeigen Sie, dass
∑_(n=1)^∞▒〖nx^(n-1) 〗=1/((1-x)^2 )
für alle x ∊ (-1,1) gilt, indem Sie die Potenzreihe als Cauchy-Produkt schreiben."
Als Ergebnis soll rauskommen, dass die obige Potenzreihe das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selbst ist.
Durch Index-Shift erhalte ich:
∑_(n=1)^∞▒〖nx^(n-1) 〗=∑_(n=0)^∞▒〖(n+1)x^n 〗
Wie um alles in der Welt gelange ich nun aber von dort zum Cauchy-Produkt und dann zur geometrischen Reihe? Die geometrische Reihe lautet:
∑_(n=0)^∞▒x^n
Das Cauchy-Produkt ist definiert als
∑_(n=0)^∞▒c_n
mit
c_n=∑_(k=0)^n▒〖a_k b_(n-k) 〗
Im Fall der geometrischen Reiher ergibt sich mit cn
a_n=b_n=x^n
∑_(n=0)^∞▒∑_(k=0)^n▒〖x^k x^(n-k) 〗=∑_(n=0)^∞▒x^n
Daher komme ich beim Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selbst wieder auf die geometrische Reihe. Wo ist mein Fehler? Wo bleibt bei meiner Rechnung (n+1)?
Ich würde mich riesig freuen, wenn mir vom berühmten Schlauch geholfen werden könnte.
LG
Knuddel