Nächsten Freitag schreibe ich eine wunderbare Klausur über Fourier-Transformierte Funktionen.
Gibt es dazu irgendwo Material im Internet?
So ein paar Fragen die mir spontan einfallen:
?Der Dirac-Impuls ist ein mathematisches Modell, um rechnerisch alle denkbaren Eingangssignale „auf einmal“ in ein System zu schicken, und so auch alle denkbaren Systemantworten „auf einmal“ zu erhalten, womit dann das Verhalten des Systems, abgesehen von eventuellen Anfangswerten umfassend beschrieben wird. Der Dirac-Impuls ergibt als Ausgangsfunktion die Impulsantwort im Zeitbereich und die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich.
Der Sinn, eine Funktion in den Bildbereich zu überführen, dort zu berechnen und zu retransformieren ist dieser : Die Berechnung von Differentialgleichungen höherer Ordnung im Zeitbereich lässt sich durch Transformation in den Bildbereich in ein rein algebraisches Problem überführen. Es im Bildbereich zu berechnen ist somit viel einfacher. Nach der Retransformation in den Zeitbereich hat man sich damit sehr viel Berechnungsarbeit gespart.
Faltung / Faltungsintegral :
Einer Multiplikation im Bildbereich entspricht die Faltung im Zeitbereich, einer Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Bildbereich.
Hoffe, ich konnte helfen,
Jürgen
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi Bruno 
Man kann den Zeitverlauf eines analogen Signal als Summe (Überlagerung) von Sinus-Wellen darstellen. Die Fourier-Transformation (FT) sagt dir, welche Frequenzen diese Sinus-Wellen besitzen und wie stark diese Freqeuenzen, relativ zueinander, im Gesamtsignal enthalten sind. Die FT liefert dir sozusagen das Frequenzprofil eines Signals. Die Transformation findet also von einem Zeit-Bereich in einen Frequenz-Bereich statt, oder umgekehrt.
Wenn du ein Signal mit konstantem Zeitverlauf hast (also eine Gerade parallel zur Zeit-Achse), dann schwingt darin nichts. Die FT liefert dir also für alle Frequenzen den Wert 0, außer für die Null-Frequenz. Genau bei f=0 hast du Vollausschlag, weil sich das Signal zu 100% aus der „Schwingung“ mit der Frequenz Null zusammensetzt. Das ist ein Dirac-Peak im Frequenzbereich.
Da die FT aber in beide Richtungen t f durchgeführt werden kann, enthält ein sehr kurz eingeschaltetes Zeit-Signal extrem viele Frequenzen. Ein unendlich kurzes Zeit-Signal ( Dirac-Puls ) enthält alle Frequenzen gleich häufig!
Also, du Fourier-transformierst zwei Funktionen a(t) sowie b(t) und erhältst A(f) und B(f). Die beiden Fourier-Transformierten werden multipliziert C(f)=A(f)*B(f). Das Ergebnis C(f) wird wieder in den Zeitbereich zurücktransformiert und du erhälst c(t). Dieses c(t) ist die Faltung von a(t) und b(t). Mit anderen Worten, bei einer Faltung von zwei Funktionen werden die beiden FT miteinander multipliziert.
http://www.ulib.org/webRoot/Books/Numerical_Recipes/…
Kapitel 12 und 13 lesen !!!
Viele Grüße
Stefan.
- Faltung
Also, du Fourier-transformierst zwei Funktionen a(t) sowie
b(t) und erhältst A(f) und B(f). Die beiden
Fourier-Transformierten werden multipliziert C(f)=A(f)*B(f).
Das Ergebnis C(f) wird wieder in den Zeitbereich
zurücktransformiert und du erhälst c(t). Dieses c(t) ist die
Faltung von a(t) und b(t). Mit anderen Worten, bei
einer Faltung von zwei Funktionen werden die beiden FT
miteinander multipliziert.
Interessant wäre in diesem Zusammenhang ein Hinweis auf die praktische Bedeutung der Faltung un ihrer Umkehroperation der Entfaltung:
Angenommen man will ein Signal mit einer Meßanordnung messen, die einen systematischen Feher (z.B. infolge thermischer Trägheiten) hat, den man nicht eliminieren kann und der dazu führt, daß das Ausgangssignal aus Anteilen des Eingangssignals zusamengesetzt ist, welche zu verschiedenen Zeiten aufgenommen wurden. In deisem Fall spricht man davon, daß das Ausgangssignal der Meßanordnung verschmiert ist, weil der Fehler mit dem Verschmieren eins frisch gemalten Aqarells verglichen werden kann. Da das Ausgangssignal aus mathematischer Sicht einer Faltung des Eingagngssignals mit einer Gerätefunktion entspricht, kann man das Eingangssígnal zurückzurechnen, indem man das Ausgangssignal mit der Gerätefunktion entfaltet (Entschmierung).
Da ein Meßsignal keine kontinuierliche Funktion ist (wie sie für eine Fourier-Transformation benötigt wird), sondern aus diskreten Werten besteht, arbeitet man gern mit der FFT oder noch lieber mit der Z-Transformation. Letztere hat den Vorteil, daß man Faltung und Entfaltung analytisch lösen kann und numerische Transformation und Retransformation entfallen.