Hallo zusammen,
ich bin neu hier und habe bisher die Tipps und Hilfen in diesem Board nur passiv wahrgenommen. Insofern Danke für alle bisherigen Hilfen, die mir hier geboten wurden. Als neu angemeldetes Mitglied helfe ich natürlich gerne auch weiter, soweit ich das in meinen Themengebieten kann…
Nun aber zu meinem Problem. Es geht um eine Aufgabenstellung aus dem Bereich Signalverarbeitung, Signaltheorie:
Es sei ein einfaches System gegeben:
Eingangssignal:
x(t)
Ausgangssignal:
y(t) = e<sup>0.1*t</sup>\*x(t)
Nun sollen Linearität, Zeitvarianz, Kausalität und Stabilität ermittelt werden.
Mein Lösungsansatz:
- Linearität
Homogenitätsbedingung:
y(a\*x) = a\*y(x)
[also: egal zu welchem Zeitpunkt das Signal verstärkt wird, das Ergebnis wird immer gleich bleiben.]
sei also
x<sub>1</sub>(t) = a \* x(t) -\> y<sub>1</sub>(t) = e<sup>0.1*t</sup> \* [a \* x(t)]
(entspricht y(a*x))
e<sup>0.1*t</sup> \* [a \* x(t)] = a\*e<sup>0.1*t</sup>\*x(t) = a\*y(t)
(entspricht a*y(x))
Additivitätsbedingung:
y(x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>) = y(x<sub>1</sub>) + y(x<sub>2</sub>)
[also: egal zu welchem Zeitpunkt zwei Signal zusammengeführt/aufaddiert werden, das Ergebnis bleibt immer dasselbe]
sei
x(t) = x<sub>1</sub>(t) + x<sub>2</sub>(t)
-\> y<sub>1+2</sub>(t) = e<sup>0.1*t</sup>\*x<sub>1+2</sub>(t) = e<sup>0.1*t</sup>(x<sub>1</sub>(t) + x<sub>2</sub>(t))
entspricht
y(x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>)
->
e<sup>0.1*t</sup>(x<sub>1</sub>(t) + x<sub>2</sub>(t)) = e<sup>0.1*t</sup>\*x<sub>1</sub>(t) + e<sup>0.1*t</sup>\*x<sub>2</sub>(t) = y<sub>1</sub>(t) + y<sub>2</sub>(t)
entspricht
y(x<sub>1</sub>) + y(x<sub>2</sub>)
Damit ist das System also linear.
- Zeitvarianz
Bei Erregung mit einer Sprungfunktion zeigt sich, das das System an jedem beliebigen Zeitpunkt immer gleich reagiert:
Sei
x<sub>1</sub>(t) = x(t-t<sub>0</sub>) \* s(t-t<sub>0</sub>) (wobei s die Sprungfunktion sein soll, also: s(t) = 0 für t = 0)
-\> y<sub>1</sub>(t) = e<sup>0.1*t</sup> \* x(t-t<sub>0</sub>)\*s(t-t<sub>0</sub>)
Damit ist das System also ZeitINvariant.
- Kausalität:
Für eine Überprüfung der Kausalität ist die Annahme der Sprungfunktion hinreichend. Jede anderes Eingangssignal ruft hinsichtlich der Kausalität dasselbe Ergebnis hervor:
Sei also
x(t) = 0 für t dann gilt für die Systemreaktion immer:
-\> y = e<sup>0.1*t</sup>\* 0 = 0 für t
Dasselbe gilt auch umgekehrt, damit ist das Sytem kausal.
4. Stabilität:
Stabilitätsbedingung:
|x(t)| |y(t)|
Sei also |x(t) |y(t)| = |e<sup>0.1*t</sup>| \* |x(t)| !
Da der erste Betrag nach dem Gleichheitszeichen unbeschränkt ist und der zweite Anteil beschränkt ist der Ausdruck nach dem Gleichheitszeichen unbeschränkt und erfüllt damit nicht die Stabilitätsbedingungen. Egal was für N gilt, M wird nie erfüllt sein.
So, das war also mein Lösungsansatz. Meine Frage an Euch wäre jetzt: ist das schlüssig und vor allem: ist das alles so korrekt?
Vielen Dank im Voraus
Grüsse
karton
