Wie löst man diese Aufgabe es sollten 2 Lösungen geben…
Einheitskreis aufmalen.
Fuer irgendein x, sin(2x) und cos(x) eintragen
diese beiden Strecken sollen fuer die gesuchten x gleich lang (oder kurz) sein
Das ist zum Beispiel der Fall, wie man an dem augemalten Bild leicht sieht, wenn sin(2x)=cos(x)=0 ist, oder x=pi/2. Es gibt noch drei weitere Loesungen fuer x im Intervall [0,2pi]
Gruesse
C
es wäre sehr nett, wenn Sie mir noch heute schreiben könnten.
Also zu deiner ersten Frage:
Du musst in 2(sin(2x))=1 für x=15° und 75° einsetzen, sodass dann dasteht:
2*(sin(2*15))=1 und das stimmt auch
2*(sin(2*75))=1 und das stimmt ebenso.
Da darfst du nicht verwirren lassen. Du musst deine berechneten x einfach einsetzen. Dein Fehler wird vermutlich sein, dass du so eingesetzt hast:
2*(sin(15))=1 das stimmt aber nicht.
2*(sin(75))=1 stimmt genauso wenig, da du vergessen hast die Winkel mit dem 2er zu multiplizieren.
Zu deiner 2. Frage:
Hattet ihr schon Summenformeln und Vereinfachungen von Trigonometrischen Funktionen?
Ich würde die dann folgendermaßen lösen:
sin(2x)=cos(x) -> mit sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)
2*sin(x)*cos(x)=cos(x) …hier kannst du nun cos(x) auf beiden Seiten streichen. ->
2*sin(x)=1 ->
sin(x)=1/2
Diese Gleichung hat nun 2 Lösungen.
x1=30° und x2=150°
Zu 2:
Man soll die Lösung im Bogenmaß angeben.
Also Pi/6 für 30° und 5Pi/6 für 150°
N.B. Du darfst durch Kosinus nur teilen wenn du x=90° oder Pi/2 und x=270° oder 3Pi/2 ausschließt. An diesen Stellen wäre es dann eine Division durch 0 und das ist nicht erlaubt. Jedenfalls nicht mit dem Wissen das du bis jetzt hast. Das kommt später im Gymnasium, mit Grenzwerten gegen 0. Aber lass dich nicht davon verwirren, wollte es nur korrekterweise hinschreiben, da ohne diese Aussage die Rechnung nicht stimmen würde, bzw. nicht allgemein gültig wäre.
das habe ich ja schon sehr lange nicht mehr gemacht dann wollen wir mal:
2sin(2x) =1
-> sin(2x) = 1/2
Was Du nicht vernachlässigen kannst, man kann den Sinus nicht einfach aufaddieren, dafür gibt es die Additionstheoreme:
sin(2x)= 2*sinx*cosx
Insofern stimmt die Lösung schon. Du darfst eben nicht sin15 und sin75 ausrechnen, sondern erst das Endresultat. Das ist ja das Prinzip: es gilt nicht: sinx+sinx=sin2x!
also der Trick bei diesen Funktionen ist IMMER, dass du 2*pi im Argument (also im Cos oder Sin) addieren kannst und das selbe rauskommt. Also: sin(x)=sin(x+2*pi)
D.h. Gleichungen mit Trigonometrischen Funktionen haben eventuell mehrere Lösungen:
2*sin(2x) =1
sin(2*x)=1/2
1.Fall)
sin(2*x)=1/2
sin(y)=1/2 (mit y=2*x)
so dies kann man lösen indem man den arcsin anwendet. d.h.
y=arcsin(1/2)
x=1/2*arcsin(1/2)=1/2*pi/6
Das ganze in Grad: also /pi*180° rechnen ergibt:
x=1/2*pi/6 /pi*180°=15°
2.Fall)
sin(2*x+2*pi)=1/2
sin(y)=1/2 (mit y=2*x+2*pi)
so dies kann man lösen indem man den arcsin anwendet. d.h.
y=arcsin(1/2)
2*x+2*pi=arcsin(1/2)=pi/6
x+pi=1/2*pi/6
x=1/2*pi/6 -pi = -11/12*pi
das in °
x= -11/12*pi = -165°
Negative ° Zahlen sind nicht schön (aber nicht falsch), dehalb kann man einfach mit 360° addieren. Denn ein Winekl a kann man immer mit 360° addieren oder subtrahieren.
=> x’= -165°+ 360°=195°
Wenn du größere brüche als 1/2 da drin hast kannst du entsprechend mehr Lösungen für eine solche Gleichung bekommen.
zu deiner 2)
sin(2x)=cos(x)
Die ist schon nicht mehr so leicht. Da muss man auf additionstheoreme zurückgreifen.
Es gilt: sin(2*x)=2*sin(x)*cos(x) (ist halt so)
Nun haben wir natürlich noch eine kleinigkeit vergessen: Der Standarttrick: 2*pi addieren.
sin(2x+2*pi)=cos(x)
sin(2*(x+pi))=cos(x)
2*sin(x+pi)*cos(x+pi)=cos(x)
Nun kann man sich überlegen dass der cos(x+pi)=-cos(x) ist.
-2*sin(x+pi)*cos(x)=cos(x)
-2*sin(x+pi)=1
Es gilt:
sin(x)=cos(90-x)
daraus ergibt sich für die Gleichung:
cos(90-2x)=cos(x)
daraus folgt:
90-2x=x
90=3x
x=30
und dann einfach noch über den Einheitskreis in Bogenmaß umrechnen wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Eine zweite Lösung kann ich so auf Anhieb nicht sehen. Viel Glück für die Prüfung, wenn noch Fragen sind einfach melden.
dann wollen wir mal: