Hallo zusammen,
seit längerer Zeit versuche ich eine Anleitung zu finden, wie es möglich ist, den Sinus für beliebige Winkelmaße herzuleiten.
Wer kann mir dabei helfen?
Mich interessiert in erster Linie der Ansatz aus geometrischer Sicht. An der Formal, vermutlich eine (unendliche) Reihe, würd ich mich dann auch gern selbst versuchen.
Vielen Dank für Tips.
Mit freundlichen Grüßen
Oskar Buchner
Hallo,
die Reihenentwicklung des Sinus sieht folgendermaßen aus:
sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + (x^9/9!) - …
allg: sin(x) = x Summe von k=0 bis unendlich über (-x^2)^k / (2k+1)!
den Sinus kann man auch als Produktentwicklung sehen:
sin(x) = x (1- x^2/pi^2) (1- x^2/4pi^2) (1- x^2/9pi^2) …
allg: sin(x) = x Produkt von k=1 bis unendlich über (1- x^2/k^2pi^2)
für beliebige Winkel muß man x durch die Beziehung
x(rad)= (pi/180°)Winkel(Grad)
ersetzen.
Gerhard
Hallo Gerhard,
vielen Dank für die prompte Antwort.
Eine Frage noch:
Gibt es für diese Folgen auch eine geometrische Herleitung
analog der Ein- oder Umbeschreibung mit Rechtecken für die Annäherung an die Kreiszahl PI?
Mein Ziel ist es, diese Formel zu verstehen.
Gruß und vielen Dank für die Mühe.
Oskar
Hallo Oskar,
man müßte die Winkel sin (2pi/ n ) anhand der geometrischen Verhältnisse am regelmäßigen n-Eck berechnen können. Ganz zu Ende habe ich mir das aber noch nicht überlegt, zugegebenermaßen…
Für alle Winkel 2\pi q mit rationaler Zahl q geht es jedenfalls mit Additionstheoremen weiter.
hoffe, das hilft als Andeutung
Gruß
Stefan
Hi,
wie schon geschrieben, kann man Sinus und Cosinus durch Reihen darstellen.
Der Ausgangspunkt ist die Exponentialfunktion: e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!)+ … = Summe(I=0…unendlich)(x^i/i!)
Die Klammern dienen der leichteren Lesbarkeit, und ! ist die Fakultät.
Jetzt kann man noch mit imaginären Zahlen rechnen: y=e^(i*x), mit i*i==-1. Das Ergebnis ist auch eine imaginäre Zahl, die auf dem Einheitskreis in der imaginären Ebene liegt, wie man durch imaginäre Analysis zeigen kann. Dann gilt e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x), woraus sich die besagten Reihen ergeben.
Gruß
Moriarty
Hallo zusammen,
vielen Dank für die prompte Unterstützung.
gruß
Oskar