Hallo!
Alles in LATEX-Schreibweise
Ich versuche schon seit Tagen diese Funktion zu vereinfachen:
Psi(u,t) = Psi_1(u,t) + Psi_2(u,t)
Psi_1(u,t) = A*\sin(2*\pi*b))
Psi_2(u,t) = A*\sin(2*\pi*b)+\phi)
Ich komme zwar auf einfachere Ausdrücke, aber ich soll beweisen, dass folgender Ausdruck äquivalent dazu ist:
Psi(u,t) = 2*A*\cos(0,5*\phi)*\sin(\pi*b+0,5*\phi)
Maple konnte mir nur sagen, das diese Aussage wahr ist, aber den Rechenweg habe ich nocht nicht raus. Knn mir jemand helfen?
Hallo Christian,
Du solltest Dich etwas mit den trigonometrischen Additionstheoremen beschäftigen.
Es gilt:
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y [\*]
Diese Beziehung kann man anhand einer „schlauen“ Grafik beweisen.
In Deiner Formelsammlung wirst Du unter der Überschrift „Additionstheoreme“ außer dieser noch einen Haufen anderer Gleichungen finden, wie z. B. „sin 2x = 2 sin x cos x“, aber es ist tatsächlich so, daß alle (wirklich alle!) diese Formeln aus [*] folgen. Man muß nur [*] entsprechend umformen und dabei die Definitionen für den Kosinus in der Form „cos x = sin(pi/2 – x)“ und den Tangens in der Form „tan x = sin x/cos x“ sowie den trigonometrischen Pythagoras „sin² x + cos² x = 1“ verwenden.
Beispiel gefällig? Bitteschön. Hier noch mal die „Mutter aller Additionstheoreme“ [*]:
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Dies gilt für alle x und y € R. Wenn dies aber so ist, dann muß es auch für x := pi/2 - a und y := -b mit beliebigen a, b € R gelten:
sin(pi/2 - a - b) = sin(pi/2 - a) cos(-b) + cos(pi/2 - a) sin(-b) [\*]
Der Ausdruck links ist gleich cos(a + b) und entsprechend kann man auch rechts zwei Faktoren vereinfachen:
cos(a + b) = cos a cos(-b) + sin a sin(-b)
cos(-b) ist dasselbe wie cos b, aber sin(-b) ist -sin b. Also bekommen wir:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b [\*\*]
Und schließlich schnappen wir uns nochmal [*]…
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
…und setzen darin jetzt x := u und y := u:
sin(u + u) = sin u cos u + cos u sin u
also
sin(2 u) = 2 sin u cos u
oder
sin(2 x) = 2 sin x cos x. [\*\*\*]
So, und nun bekommst Du eine Aufgabe: Und zwar sollst Du mithilfe von [*] und [**] und [***] (mittendrin brauchst Du auch noch den trigonometrischen Pythagoras) folgendes „komische“ Produkt vereinfachen:
sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)
Dazu schreibst Du zunächst „sin(x/2 + y/2)“ und rechnest das mit [*] aus; dasselbe machst Du mit dem cos()-Faktor mit [**], dann bildest Du das Produkt, multiplizierst aus, und vereinfachst die Sache unter Zuhilfenahme des trig. Pythagoras und [***] solange, bis Du das Ergebnis hast:
sin((x+y)/2) cos((x-y)/2) = sin x + sin y
Cool, nicht? Und dieses Teil mußt Du dann nur noch auf Dein ursprüngliches Problem anwenden.
Noch ein Tip: Wenn man viel zu rechnen hat, tauchen immer mal wieder Ausdrücke auf, zu deren Vereinfachung man irgendeines der trigonometrischen Additionstheoreme bemühen muß, beispielsweise trifft man ab und zu ein „sin² x“ oder „sin x cos x“ in einem Integranden an. Dann sollte man (auch ohne Maple) sofort wissen, wie man damit fertig wird. Deshalb lohnt es sich, die am meisten benötigten dauerhaft im Gedächtnis abzuspeichern. Das sind glücklicherweise nur ganz wenige. Wenn Du folgende „trigonometrischen Sachverhalte“ ständig im Kopf parat hast…
cos x = sin(90° - x)
~
sin² + cos² = 1
~
sin x cos x = 1/2 sin(2 x)
~
sin² x = 1/2 (1 - cos(2 x))
~
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
~
sin(n x), cos(n x) --\> Formel von Moivre
~
sin(arctan x) = x/sqrt(1 + x^2)
cos(arctan x) = 1/sqrt(1 + x^2)
~
e^(ix) = cos x + i sin x
… dann bist Du schon sehr gut gerüstet. Also: Auswendig lernen und nie wieder vergessen! 
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo!
Kannst du das vielleicht bitte für mein Beispiel vorrechnen. Weil die Additionstheoreme die du gepostet hast, kenne ich und die beweisen kann ich auch. Aber ich bekomme es mit der Aufgabe nicht hin. Die ganz konkrete.
Christian
Hallo Christian,
Psi_1(u,t) = A*\sin(2*\pi*b))
Psi_2(u,t) = A*\sin(2*\pi*b)+\phi)
Ich komme zwar auf einfachere Ausdrücke, aber ich soll beweisen, dass :folgender Ausdruck äquivalent dazu ist:
Psi(u,t) = 2*A*\cos(0,5*\phi)*\sin(\pi*b+0,5*\phi)
mit b = x, weggelassenem A, und nicht weiter darüber nachdenken, warum die Psi-Funktionen noch ein „u“ als Argument haben, das auf der rechten Seite gar nicht vorhanden ist :
sin(2 pi x) + sin(2 pi x + phi)
~
= 2 sin ((2 pi x + 2 pi x + phi)/2) cos((2 pi x - 2 pi x - phi)/2)
~
= 2 sin ((4 pi x + phi)/2) cos(- phi/2)
~
= 2 cos(phi/2) sin (2 pi x + phi/2)
oder mit dem A:
A sin(2 pi x) + A sin(2 pi x + phi)
~
= 2 A cos(phi/2) sin (2 pi x + phi/2)
Du schreibst
>:stuck_out_tongue_winking_eye:si(u,t) = 2*A*\cos(0,5*\phi)*\sin(\pi*b+0,5*\phi)
aber das Argument des „sin“ muß " 2 pi b + 0,5 phi" lauten. Wenn die Frequenz zweier überlagerter Schwingungen 2 pi ist, dann ist auch die Frequenz der Summenschwingung 2 pi. Den Grund für die fehlende „2“ kenne ich nicht – hast Du sie beim Abschreiben vergessen, oder ist sie das, woran Du bei deinen Rechnungen scheiterst, oder was hat es damit auf sich?
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo!
Vielen lieben Dank!!! Ich habe es jetzt trotzdem aber mehrmals lesen müssen um es zu verstehen. Jetzt weis ich aber wie du es meinst.
Ja das ist die Überlagerung zweier Wellen. Das ist auch der Grund für das fehlende u. Ich habe einfach den Ausdruck durch b ersetzt, damit es einfacher ist, weil der ändert isch ja nicht. Allerdings habe ich dann vergessen das u wieder zu löschen.
In der Aufgabe heißt es pi x und nicht 2 pi x. Dann ist das ein Druckfehler, oder wir sollen zeigen das dies gerade nicht herauskommt. Vielen Dank noch mal!!!
Christian