Hallo zusammen.
Ich möchte gerne folgende Aussage zeigen
Wenn >= c*||x||²
folgt ||Ax|| >= c*||x||
(hier das ist das größer-gleich Symbol gemeint)
A ist eigentlich ein symmetrischer Operator in einem Hilbertraum; aber ich denke, man benötigt das hier nicht.
Bis her basierte mein Ansatz nämlich auch nur auf der Linearen Algebra, ich hatte mir gedacht (das Skalaprodukt ist linear in der zweiten Komponente, deswegen kann man das A herausziehen)
= A* = A ||x||² >= c ||x||²
=> A >= c
=> ||A|| >= c = ||c||
=> ||A||*||x|| >= c ||x||
Nur ist leider ||A||*||x|| >= ||Ax||, sodass ich nicht auf ||Ax|| >= c||x|| schließen kann.
Ist hier jemand geschickter als ich?
Vielen Dank & freundliche Grüße
Disap
Hallo zusammen.
Hallo !
Ich möchte gerne folgende Aussage zeigen
Wenn >= c*||x||²
folgt ||Ax|| >= c*||x||
(hier das ist das größer-gleich Symbol gemeint)
Bis her basierte mein Ansatz nämlich auch nur auf der Linearen
Algebra, ich hatte mir gedacht (das Skalaprodukt ist linear in
der zweiten Komponente, deswegen kann man das A herausziehen)
= A* = A ||x||² >= c ||x||²
Nein, das bedeutet Linearität nicht. Das kann schon deshalb nicht sein, weil eine Zahl und A eine Matrix ist.
Probiers mal mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung &le ||u||||v||
Damit kriegst du &le ||x||||Ax||.
Den Rest kriegst du bestimmt alleine hin.
Gruß
hendrik
Hallo Hendrik, und danke für die Antwort.
Ich weiß nicht, ob ich es alleine hinbekomme, ich habe jetzt gezeigt
c||x||²
Hi !
Du musst zwei Fälle betrachten. Einmal den Fall ||x||=0, dann gilt die Ungleichung die du haben willst trivialerweise weil dann auf beiden Seiten 0 steht. Wenn ||x|| nicht 0 ist, dann ist es größer als 0 und du kannst die Ungleichung c||x||2&le ||Ax||||x|| dadurch teilen, ohne das sich das &le umdreht.
Grüße
hendrik
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Hallo Hendrik.
Vielen Dank für deine beiden Antworten.
Die zweite war wohl nötig, weil alleine habe ich das dann doch nicht hinbekommen
Danke!
MfG
Disap