Skalarprodukt

Wissenschaft Mathematik
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Hallo Experten

Ich habe versucht das Skalarprodukt zu beweisen, ich wäre sehr froh wenn jemand einen Blick drüber werfen könnte.

Gleichung 1
Vektor c mittels Vektoraddition:

\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}

Gleichung 2
Kosinussatz mit Vektoren

\lvert\vec{c}\rvert^{2}=\lvert\vec{a}\rvert^{2} + \lvert\vec{b}\rvert^{2} - 2 \cdot \lvert\vec{a}\rvert \cdot
\lvert\vec{b}\rvert \cdot cos(\gamma)

Gleichung 1&2

(\vec{a}-\vec{b})^{2}=\lvert\vec{a}\rvert^{2} + \lvert\vec{b}\rvert^{2} - 2 \cdot \lvert\vec{a}\rvert \cdot
\lvert\vec{b}\rvert \cdot cos(\gamma)

\vec{a}^{2} - 2 \cdot \vec{a}\vec{b} +\vec{b}^{2}=\lvert\vec{a}\rvert^{2} + \lvert\vec{b}\rvert^{2} - 2 \cdot \lvert\vec{a}\rvert \cdot
\lvert\vec{b}\rvert \cdot cos(\gamma)

  • 2 \cdot \vec{a}\vec{b}= - 2 \cdot \lvert\vec{a}\rvert \cdot
    \lvert\vec{b}\rvert \cdot cos(\gamma)

\vec{a}\vec{b}=\lvert\vec{a}\rvert \cdot
\lvert\vec{b}\rvert \cdot cos(\gamma)

Frage:
Handelt es sich um einen richtigen Beweis, bzw. darf ich den Beweis so führen. Grundlage des Beweises ist ja das gilt:

\lvert\vec{a}\rvert^{2}=\vec{a}^{2}

Ich beweise also das Skalarprodukt mit Hilfe vom Skalarprodukt, ist dies erlaubt?

Ich habe auch immer wieder gelesen, dass es sich beim Skalarprodukt um eine Definition handelt. Kann man eine Definition überhaupt beweisen?

Vielen Dank für eure Hilfe
Andrea

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Hallo

Also einen schweren Fehler finde ich in deinen Darlegunge schon mal nicht. :wink:

Ja das Skalarprodukt wurde per Definition festgelegt. Es wäre also sinnlos zu beweisen, was du berreits definiert hast. Kommt aber ganz darauf an, wie du es definierst.

Zum Beispiel kannst du über die Definition
a * b = ax * bx + ay * by + az * bz gehen. Daraus lässt sich dann noch nicht sofort ableiten , dass es für die Berechnung des Winkels zwischen Vektoren so nützlich sein kann. Das müsste dann schon noch bewiesen werden. Sinnvoll beweisen lassen sich also nur Eigenschaften, die nich direkt aus der Definition ersichtlich sind.

|a|^2 = a^2 ist richtig. Du kannst es mit der obigen Definition sogar beweisen.

a^2
= a*a
= ax * ax + ay * ay + az * az
= ax^2 + ay^2 + az^2
= sqrt(ax^2 + ay^2 + az^2)^2
= |a|^2

Sorry das ich nicht LaTEx beherrsche! :wink:

MfG IGnow

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Hallo =)

|a|^2 = a^2 ist richtig. Du kannst es mit der obigen
Definition sogar beweisen.

a^2
= a*a
= ax * ax + ay * ay + az * az
= ax^2 + ay^2 + az^2
= sqrt(ax^2 + ay^2 + az^2)^2
= |a|^2

Huch? Du hast einfach Wurzel gezogen und quadriert - das ist keine äquivalentumfornung.

Hier müsste man unterscheiden ob du im komplexen oder reellen Raum bist. Bei reellen Räumen gilt |a|^2=a^2, bei komplexen nicht.

Zur Fragestellerin:

Du müsstest dann noch sagen, wie du den Betrag eines Vektors definierst, da das ja auch durch ein Skalarprodukt möglich ist: |a|^2=(a*a*cos(gamma))^2
Irgendwo muss man ja mit Definitionen anfangen, worauf Beweise aufgreifen.

Du solltest auch noch sagen, in welchen Raum du dich befindest, da das was du geschrieben hat nur für reelle Vektorräume gilt.

MfG, Christian

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Hallo IGnow, Chrisschan

Vielen Dank für eure schnelle Hilfe, ihr habt mir wirklich weitergeholfen.
An IGnow,
Definition der skalaren Multiplikation mittels Komponentenrechnung, und mittels Kosniussatz beweisen, wie gross der Winkel ist, den die Vektoren aufspannen.

Genau das habe ich gesucht! Vielen, vielen Dank für deinen Hinweis!

mfG Andrea