Hallo,
Bekannt ist mir, dass in der Schrödingerschen Wellenmechanik
ganz Allg. folgendes gilt:
im Raum der quadratintegrablen Funktionen (Wellenfunktionen) ist das Standardskalarprodukt zwischen zwei Funktionen definiert als
= \int \left(\Psi(\vec{r})\right)^* \Phi(\vec{r}),\mathrm{d}^3r.
In anderen Vektorräumen sind die Vektoren von ganz anderer Gestalt oder das Skalarprodukt wird ganz anders ausgerechnet – für das Folgende ist die konkrete Gestalt des Skalarprodukts aber unerheblich.
Man definiert das Betragsquadrat eines Vektors als das Skalarprodukt mit sich selbst:
\lvert\Psi\rvert^2 =
und nennt den Vektor normiert, wenn sein Betragsquadrat 1 ist.
In Analogie zur anschaulichen, euklidischen Geometrie in 3D, wo man den Winkel zwischen zwei Vektorpfeilen (bzw. dessen Kosinus) mit Hilfe des Skalarprodukts ausrechnen kann, nennt man zwei Vektoren, deren Skalarprodukt verschwindet orthogonal, denn dann ist der Kosinus 0 und damit der Winkel 90°.
Was hat es aber mit folgender Definition auf sich?
Wenn wir eine Basis eines Vektorraums wählen, so sind wir da grundsätzlich völlig frei. Wir numerieren die Basisvektoren durch und bezeichnen sie durch
|i>\qquad\text{mit}\quad i\in{1,2,\ldots}.
Es erweist sich allerdings oft als geschickt, eine Orthonormalbasis zu wählen. Das ist eine Basis, in der jeder einzelne Basisvektor normiert ist
= 1\qquad\forall i
und je zwei verschiedene Basisvektoren zueinander orthogonal sind
= 0\qquad\forall i\neq j.
Diese beiden Forderungen kann man platzsparend mit Hilfe des Kronecker-Symbols in einer Gleichung schreiben
= \delta_{ij}.
–
PHvL
