Also mal von vorn:
Du brauchst nicht transformieren, warum auch? Außerdem ist deine Transformation falsch durchgeführt. Aber egal…
Also wenn wir vereinfachen wissen wir es gilt:
\frac{\frac{\partial U}{\partial x_1}}{\frac{\partial U}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2}
In unserem Fall:
\frac{x_2}{3x_1}=\frac{p_1}{p_2}
Setzen wir das in die Bugetrestriktion
m=p_1x_1+p_2x_2
ein, so erhalten wir:
m=p_1x_1+3\cdot p_1x_1
So ergibt sich die Nachfrage nach x1:
x_1=\frac{m}{4\cdot p_1}
Und aus der oberen Gleichung ergibt sich:
x_2=\frac{3\cdot m}{4\cdot p_2}
So ergeben sich die Mengen:
x_1= 20
und
x_2= 30
Nach der Preiserhöhung ergibt sich:
x_1= 10
Und da gilt:
\frac{p_1\cdot x_1}{p_2\cdot x_2}= \frac{1}{3}
folgt, dass weiterhin:
x_2= 30
gilt.
Der Nutzen vor der Preiserhöhung war:
U(20,30)=ln(20)+3*ln(30)=13.2
Der Nutzen nach der Preiserhöhung ist:
U(10,30)=ln(10)+3*ln(30)=10.9
Nun zur Zerlegung:
Slutzky fragt zwei Dinge.
Die erste Frage ist: Wie wäre das optimale Konsumgüterbündel, wenn nur die Preise verändert worden wären, aber der NUTZEN gleich bleibt. Das wäre der Substitutionseffekt.
Die Andere Frage ist: Wieviel mehr Budget wäre nötig, um beim neuen Preisverhältnis das alte Niveau zu erreichen.
Schauen wir uns dafür die Nutzen und Nachfragefunktionen nochmal an:
Die Indifferenzkurve der Nutzenfunktion hat die Gleichung:
x_1=\frac{e^{\bar{U}}}{x_2^3}=e^{\bar{U}}\cdot x_2^{-3}
Die Ableitung ist:
\frac{\partial x_1}{\partial x_2}=-3\cdot e^{\bar{U}}\cdot x_2^{-4}
Die Budget gerade hat den Anstieg:
\frac{\partial x_1}{\partial x_2}=-\frac{p_2}{p_1}
Nun gilt dass die neue Budgetgerat mit dem neuen Preisverhältnis den Anstieg
\frac{\partial x_1}{\partial x_2}=-\frac{p_2}{p_1}=-\frac{2}{2}=-1
hat und daher gelten muss:
\frac{\partial x_1}{\partial x_2}=-3\cdot e^{\bar{U}}\cdot x_2^{-4}=-1
Dies ist nach Umstellen für:
x_2=\sqrt[4]{3\cdot e^{\bar{U}}}=\sqrt[4]{3\cdot e^{13.2}}=35.68
x_1=e^{\bar{U}}\cdot x_2^{-3}=e^{13.2}\cdot35.68^{-3}=11.89
Somit ist der Substitutionseffekt bei x1 gleich -8.11 und bei x2 gleich +5.68 .
Um den Einkommenseffekt zu errechnen muss man sich nun folgendes überlegen:
Mein bisheriges Budget war 80 und der Punkt(11.89,35.68) ist der Punkt, den man wählen würde, bei neuem Preisverhältnis um das alte Nutzenniveau zu behalten. Allerdings bräuchte man bei neuen Preisen ein Budget von 11.89*2+35.68*2=95.14 Euro.
Und weil man jedoch nur 80€ hat, wählt man stattdessen den Punkt(10,30).
Also folgt daruaß, dass der Einkommenseffekt bei x1=-1.89 ist und bei x2=-5.68. Dies kann man noch ausführlicher Zeigen, ist aberr defacto das selbe Vorgehen wir beim Substitutionseffekt.
Interpretation: Durch den höheren Preis für Gut 1 wird der Agent weniger Gut1 kaufen und mehr von Gut2, da der relative Preis für Gut2 gesunken ist und die GRT>GRS ist. Das heißt, er kannt Gut2, in relativen Preisen zu Gut1, zu einem günstigeren Preis erwerben, als er bereit ist zu zahlen. Dies ist der Substitutionseffekt.
Da er durch den höheren Preis von Gut 1 jedoch insgesamt ärmer wurde, muss er auf Grund der geringeren Kaufkraft den Konsum beider Güter reduzieren ( Einkommenseffekt).
Alles klar soweit?
Also den Gesamteffekt! Habe es nochmal überblickt, und muss sagen, ich sehe meinen fehler nicht. Wie ist deine Rechnung? Zeig mal!