Sorry noch ne Frage

Wissenschaft Physik
1

hi,

sorry aber ich muss morgen den scheiß fertig haben und wir kommen und kommen nicht auf die Lösungen. Also noch eine äh 3 fragen Frage:

also:

Beweise:

  1. 1 - (n über 2) + (n über 4) + … = 2^n-1
  2. (n über 1) + (n über 3) + (n über 5) … = 2^n-1
  3. (1+x)^n >= 1 + nx für alle x€[-2,-1)

ich kann da keinen induktionsschritt machen und damit kann ich das nicht beweisen. jedenfalls ich nicht *g*. Wäre toll wenn ihr mir (uns)helfen könntet.

THX

Sven

2

Hallo,

  1. 1 - (n über 2) + (n über 4) + … = 2^n-1

Vermutlich ist (n über 0) + (n über 2) + (n über 4) + … gemeint ?
Nur ein Tip. Es gilt (n über 0) + (n über 1) + … + (n über n)=2^n (könnt ihr das verwenden ?)
Zudem gilt: (n über (k-1)) + (n über k)=((n+1) über k)
Jetzt läßt sich (fast) jedes Glied der betrachteten Reihe als Summe von Binominalkoeffizienten der Form ((n-1) über (k-1)) und ((n-1) über k) darstellen, womit insgesamt die Behauptung folgt.

  1. (n über 1) + (n über 3) + (n über 5) … = 2^n-1

Analog zu 1.

  1. (1+x)^n >= 1 + nx für alle x€[-2,-1)

Der Induktionsschritt:
(1+x)^(n+1)=(1+x)*(1+x)^n>=(1+x)*(1+nx)=
1+nx+x+nx^2=1+(n+1)x+nx^2>=1+(n+1)x (wg. x^2>0, n>=0).

Gruss
Enno