Spannungsverlauf bei Kondensatorentladung

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
ich lerne derzeit für eine Physik Prüfung und brauche bei folgender Aufgabe etwas Hilfe.
Es geht um folgenden Stromkreis:
http://imageshack.us/photo/my-images/843/stromkreis…

Das Experiment läuft folgendermaßen ab:

  1. Schalterstellung B: Kondensator wird aufgeladen
  2. Schalterstellung A: Kondensator entlädt sich. Dabei wird der Spannungsverlauf am Kondensator gemessen.
    Experimentell ergibt sich ein exponentieller Anfall der Spannung.
    Nun soll folgender Funktionsterm für den Spannungsverlauf hergeleitet werden:
    U(t)=U0*e^((-1/R*C)*t)
    Ich habe das nun folgendermaßen hergeleitet:
    http://imageshack.us/photo/my-images/84/kondensatore…

In der Schule haben wir das etwas anders hergeleitet, allerdings finde ich diese Lösung sinnvoller und wollte deshalb fragen, ob die Herleitung so richtig ist.
Ich bedanke mich im Voraus für eure Hilfe!
MfG
sikevovic

#2

Hossa :smile:

Ja, die Herleitung sieht gut aus. Vielleicht könntest du noch beim Integrieren mit den korrekten Grenzen arbeiten, dann kannst du dir die Betrachtung der Randbedingungen sparen. Also anstatt mit den unbsetimmten Integralen

\int\frac{dQ/dt}{Q},dt=-\int\frac{1}{RC},dt

mit den folgenden bestimmten Integralen rechnen:

\int\limits_{0}^{t}\frac{dQ/d\tilde t}{Q},d\tilde t=-\int\limits_{0}^{t}\frac{1}{RC},d\tilde t\quad\Longrightarrow\quad
\int\limits_{Q_0}^{Q(t)}\frac{d\tilde Q}{\tilde Q}=-\int\limits_{0}^{t}\frac{1}{RC},d\tilde t

\ln Q(t)-\ln Q_0=-\frac{t}{RC}\quad\Longrightarrow\quad Q(t)=Q_0\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)

Viele Grüße

Hasenfuß

#3

Hallo,

In der Schule haben wir das etwas anders hergeleitet,
allerdings finde ich diese Lösung sinnvoller und wollte
deshalb fragen, ob die Herleitung so richtig ist.

ja, die Herleitung ist korrekt. Du hast die DG (Differentialgleichung) durch die sogenannte Integration mit Trennung der Variablen gelöst. Das ist eine sehr wichtige Methode, und zwar weil sie auch auf _nicht_lineare DGen angesetzt werden kann. Wie Du siehst, führt sie aber auch bei einer schlichten linearen DG erster Ordnung zum Erfolg.

Es geht allerdings auch problemlos ohne die Integration mit Separation. Die Bewegungsgleichung

\dot{Q} + \frac{1}{RC} Q = 0

sieht nach Division durch Q so aus

\frac{\dot{Q}}{Q} + \frac{1}{RC} = 0

…und wenn Du jetzt die linke Seite clever als zeitliche Ableitung ausdrückst…

\Big(\ln Q + \frac{1}{RC}t\Big)\dot{ } = 0

…kannst Du daraus schlussfolgern, dass der eingeklammerte Ausdruck zeitlich konstant sein muss (denn nur dann ist seine zeitliche Ableitung ja immer Null):

\ln Q + \frac{1}{RC}t = K

Q(t) = e^{K - \frac{t}{RC}} = e^K e^{-\frac{t}{RC}}

Der konstante Faktor eK ergibt sich aus der Anfangsbedingung Q(0) = Q0 zu ebenjenem Q0 und somit ist

Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}}

die Lösung der DG. Diese Variante zeigt, dass das Konzept Stammfunktion (der oben eingeklammerte Ausdruck ist die Stammfkt von Q’/Q + 1/RC) zur Lösung ausreicht.

Gruß
Martin